Stetigkeit von f(x) beweisen

18.11.2014, 20:00	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetigkeit von f(x) beweisen Meine Frage: Ich soll die Stetigleit der Funktion $\begin{eqnarray} f\left(x\right) = \sum\limits_{k=1}^\infty k \cdot e^{-kx} \end{eqnarray}$ auf (0,inf.) beweisen. Meine Ideen: Mir ist die Definition der Stetigkeit über das Epsilon-Delta-Kriterium bekannt, allerdings weiß ich nicht, wie ich die Differenz exp(-kx)-exp(-k*x0) durch ein geeignetes Delta abschätzen kann. Zudem hatte ich mir überlegt, aus der gleichmäßigen Konvergenz (die allerdings noch zu prüfen wäre!) die Stetigkeit der Funktion f zu folgern, allerdings weiß ich nicht, welche Funktionenfolge ich definieren könnte, die auch gleichmäßig gegen f konvergieren würde. Für Hilfe wäre ich dankbar!!!
19.11.2014, 13:52	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo? Ein Lösungsansatz wäre hilfreich!!
19.11.2014, 14:01	derdickederbande	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Widderchen, du hast durch die Reihe doch schon eine Funktionenfolge gegeben die gegen $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ konvergiert. Die konvergiert zwar nicht global gleichmäßig, aber das brauchst du auch nicht. Es genügt gleichmäßige Konvergenz auf kompakten Mengen.
19.11.2014, 14:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Alternativ kann man hier schlicht den Reihenwert auszurechnen (d.h. explizit ohne Summenzeichen darstellen) - was hier erfreulicherweise mit geringem Aufwand möglich ist.
19.11.2014, 18:59	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich sollte dies über die Konvergenz der Reihe sum from k=1 to inf. (k*x^k) für alle x aus (-1,1) beweisen. Allerdings komme ich bei der Differentiation der Potenzreihe von x^k nicht auf das Resultat (ich weiß, dass diese Reihe lokal gleichmäßig auf (-1,1) konvergiert). Darf ich dann die Potenzreihe von x^k dann differenzieren?? Und vielen Dank für Eure Hilfe!!
19.11.2014, 19:58	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Um von $\begin{align} g(x) = \sum_{k=1}^{\infty} kx^k \end{align}$ auf $\begin{align} f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} ke^{-kx} \end{align}$ zu kommen, musst du doch nicht differenzieren - da reicht bereits Einsetzen : $\begin{align} f(x) = g\left( e^{-x} \right) \end{align}$ .
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