Häufungspunkte einer Folge

19.11.2014, 08:27

crushiii

Häufungspunkte einer Folge

Guten Morgen zusammen,

ich hänge gerade an einer Aufgabe, bei der ich nicht so wirklich einen Anfang finde.

Folgende Aufgabenstellung:
Es sei $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ eine Folge reeller Zahlen. Es sei $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ eine weitere Folge, wobei jedes $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ sei. Es sei $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ selbst eine konvergente Folge.
Zeigen Sie, dass dann auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_k} \end{eqnarray*}$ ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ ist.

Ich bin mir nicht ganz sicher, wie ich hier anfangen soll.

Folgendes weiß ich:
- Der Häufungspunkt a ist derjenige, gegen den eine Teilfolge konvergiert.
- Für jede konvergente Folge ist ihr Limes der einzige Häufungspunkt (bezgl. $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ ).
- Jedes Folgenglied $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert einer konvergenten Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ und somit ein Häufungspunkt.

Sei nun $\begin{eqnarray*} (a_{n_k}) \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt doch:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_{n_k}} = a = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{b_k} \end{eqnarray*}$
Also könnte ich die Gleichung zeigen, wäre ich doch fertig oder?

Zu $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ kann ich ja noch sagen, dass es weiter vorausgesetzt ist, dass für jedes $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein entsprechend großes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ existiert, so dass gilt: $\begin{eqnarray*} | b_k - a | < \epsilon \end{eqnarray*}$ (Konvergenz ist ja laut Aufgabenstellung gegeben).
Gleiches gilt natürlich auch für meine Teilfolge $\begin{eqnarray*} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ .

Wie kann ich denn nun anfangen?
Bringt es mir was, das für Teilfolge und $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ zu zeigen, obwohl diese nur in allgemeiner Form vorliegen?
Wenn dies so ginge, dann kenn ich ja keinen Grenzwert und könnte es höchstens so zeigen, wenn ich $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ als Cauchy-Folge annehme...

Wäre super, wenn mir wer weiterhelfen könnte.

19.11.2014, 17:53

bijektion

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Ich fasse das ganze nochmal zusammen: Aus den Voraussetzungen folgt, das es für jedes $\begin{eqnarray*} l\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ eine streng monoton steigende Folge $\begin{eqnarray*} (n^{(l)}_k)_k \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} b_l=\lim_{k\to\infty} a_{n^{(l)}_k} \end{eqnarray*}$ gilt,
außerdem existiert $\begin{eqnarray*} b:=\lim_{n\to\infty} b_n \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen ist nun, dass es eine Teilfolge $\begin{eqnarray*} (n_k)_k \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} b=\lim_{k\to\infty} a_{n_k} \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wenn dies so ginge, dann kenn ich ja keinen Grenzwert und könnte es höchstens so zeigen, wenn ich $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ als Cauchy-Folge annehme...

Das brauchst du nicht annehmen, nach Voraussetzung gilt für $\begin{eqnarray*} n>m>N: ~ |b_n-b_m|\leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ , aber daraus kannst du doch etwas folgern Augenzwinkern

19.11.2014, 19:47

crushiii

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Du hast Recht, wir haben in der Vorlesung ja das Cauchy-Konvergenzkriterium gehabt:
Eine konvergente Folge ist demnach eine Cauchy-Folge.

Ok, hätten wir das geklärt.

Allerdings weiß ich gerade noch nicht genau, auf was ich dann schließen kann.
Ich weiß, dass der Abstand der Folgenglieder ab einem entsprechend großen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kleiner ist, als jedes vorgegebene $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .
Jedes Folgenglied ist nach Aufgabenstellung ein Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .
Heißt das dann, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Häufungspunkt sein muss oder sogar der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist???

19.11.2014, 22:28

bijektion

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Zitat:

Heißt das dann, dass der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Häufungspunkt sein muss oder sogar der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist???

Im allgemeinen ist $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ nicht konvergent, zumindest dann nicht, wenn es $\begin{eqnarray*} n,m\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, sodass $\begin{eqnarray*} b_n\neq b_m \end{eqnarray*}$ .

Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ eine Cauchy-Folge ist. Für hinreichend große $\begin{eqnarray*} n,m \end{eqnarray*}$ ist also $\begin{eqnarray*} |b_n-b_m|\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Jetzt nutze die Definition eines Häufungspunktes.

20.11.2014, 13:14

crushiii

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Danke, jetzt läuft's glaub ich smile

Wenn ich durch die Cauchy-Folge zeige, dass die Punkte ab einem gewissen n alle "auf einem Haufen" liegen, habe ich ja einen Häufungspunkt.

Habe es jetzt nur argumentativ aufgeschrieben, da mir formal nichts dazu eingefallen ist.
Tue mich noch recht schwer, das alles formal korrekt hinzubekommen, sondern argumentiere noch oft eher sprachlich.
Bisher ist das auch noch ok so und gibt keine wirklich Abzüge smile

20.11.2014, 13:21

bijektion

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Das ist doch nicht schwer hier, versuch es einfach mal Augenzwinkern

20.11.2014, 13:40

crushiii

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Vor: (Wie aus Eingangs- /Zwischenpost).

Behauptung: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{(b_k)_k} \end{eqnarray*}$ ist Häufungspunkt von $\begin{eqnarray*} (a_n)_n \end{eqnarray*}$

Beweis:
Da $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung konvergent ist, gilt:
Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} m, n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} | b_m - b_n | < \epsilon \end{eqnarray*}$ . (Definition Cauchy-Folge)

Daher gilt für den (bestimmten) Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} p \in (a_n)_n \end{eqnarray*}$ :
Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} | b_n - p | < \epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \qquad \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{(b_k)_k} = p \end{eqnarray*}$

Das wäre so mein erster Versuch, es einigermaßen formal auszudrücken, was ich argumentativ überlegt hatte.

21.11.2014, 06:14

crushiii

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Guten Morgen smile

Kann mir noch jemand sagen, ob der Versuch im letzten Post so in Ordnung ist?
Würde mich sehr über eine positive Rückmeldung oder Korrekturvorschläge freuen smile

21.11.2014, 09:06

bijektion

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Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} (b_k)_k \end{eqnarray*}$ nach Voraussetzung konvergent ist, gilt: Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} m, n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} | b_m - b_n | < \epsilon \end{eqnarray*}$ . (Definition Cauchy-Folge)

Das brauchst du nichtmal mehr smile

Zitat:

Daher gilt für den (bestimmten) Häufungspunkt $\begin{eqnarray*} p \in (a_n)_n \end{eqnarray*}$ : Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} | b_n - p | < \epsilon \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \qquad \lim\limits_{k \rightarrow \infty}{(b_k)_k} = p \end{eqnarray*}$

Hier fehlt jetzt noch, das $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ auch Häufungspunkt ist. Das ist aber leicht: In jeder $\begin{eqnarray*} 2\varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung um $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ liegen unendlich viele $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ und in jeder $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung um $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ liegen unendlich viele $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ . Das ganz gilt für alle $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , also liegen in jeder $\begin{eqnarray*} \varepsilon^{*}=2\varepsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung unendlich viele $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ .

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