Vektoren in linearer Hülle enthalten

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Vektoren in linearer Hülle enthalten
Meine Frage:
Hallo

Ich beschäftige mich mit folgendem Problem:

Ich soll überprüfen ob zwei Vektoren a1 und a2 in der linearen Hülle von 3 anderen Vektoren b1 b2 b3 enthalten sind.

Ich hab mir mal die nötigen Infos zusammengesucht, was ich jetzt wissen möchte ist ob mein Lösungsweg allgemein richtig ist und ob ich meine Ergebnisse richtig interpretiere und dafür benötige ich nun eure Hilfe!

Meine Ideen:
So, die lineare Hülle besteht ja aus den Vielfachen meiner Vektoren und deren Summen.

Dh für den Vektor b1 wäre die lineare Hülle L({b1})={s*b1 | s element R}
Also eine Gerade

Für die Vektoren b1 und b2
L ({b1, b2})={sb1+tb2 | s, t element R}
Also eine Ebene (?)

Für die Vektoreb b1 b2 und b3
L ({b1, b2, b3})={sb1+tb2+ub3 | s, t, u element R}
Also ein dreidimensionaler Raum.

Für mehr Vektoren spar ich mir mal die Interpretation.

Wenn ich jetzt überprüfen möchte ob ein Vektor a in einem L enthalten ist bestimme ich zuerst den Rang von L indem ich L als Matrix schreibe in die Zeilenstufenform bringe, danach füge ich a hinzu und überprüfe den Rang dieser neuen Matrix und sollte dieser gleich dem Rang von L sein, so ist a in L enthalten.

Also so: (die bs sollen beliebige Zahlen darstellen)
Der Rang ist 3

Ich füge nun den Vektor a hinzu, die as und bs stellen beliebige Zahlen dar: (ich weiss leider nicht wie ich am handy eine matrix ordentlich via latex aufschreiben soll, man möge mir deswegen verzeihen, weil ichs so geschrieben hab wie ichs eben geschrieben hab)



Dann mach ich das ganze nochmal mit a2 und komme zu einem ähnlichen Ergebnis. Der Rang ist in beiden Fällen 3 also sind beide Vektoren in L enthalten. Stimmt das so weit?

So, wenn ich jetzt aber sowas erhalte:



Dann ist der Rang in L zwei der Rang der erweiterten Matrix aber 3 und damit ist a nicht in L enthalten. (?)

Was ist aber mit so einem Beispiel:


Ist der Rang in L und der erweiterten Matrix dann trotzdem 3? Weist das auf einen Rechenfehler hin?

Außerdem wollte ich fragen ob ich das ganze nicht gleich so aufschreiben könnte:


Bzw sollte es mir um eine Antwort für beide as gleichzeitig gehen auch so:



Vielen Dank für die Hilfe!
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Damit sieht man ja vor lauter b's und a's den Wald nicht mehr. Im Grunde mußt du doch nur prüfen, ob folgendes Gleichungssystem lösbar ist:

mit

Sollte die Matrix den Rang 3 haben, dann ist diese invertierbar und somit das Gleichungssystem eindeutig lösbar. Ansonsten mußt mit der um den Vektor a erweiterten Matrix das Gauß-Verfahren durchführen.
Unwissenderer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Ja, das ist mir klar, aber angenommen die Frage ist einfach nur ist a in der linearen Hülle enthalten (ohne dass ich die Koeffizienten der linearkombinationen berechnen muss), sprich eine Frage die ich mit ja oder nein beantworten kann, dann müsste doch die Überprüfung der Ränge auf Gleichheit genügen, oder?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Du mußt aber die Ränge der richtigen Matrizen vergleichen. Nämlich den Rang der Matrix
mit dem Rang der um den Vektor a erweiterten Matrix .
Unwissenderer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Aber genau das hab ich doch beschrieben als ich gesagt habe:

Zitat:

Ich füge nun den Vektor a hinzu, die as und bs stellen beliebige Zahlen dar: (ich weiss leider nicht wie ich am handy eine matrix ordentlich via latex aufschreiben soll, man möge mir deswegen verzeihen, weil ichs so geschrieben hab wie ichs eben geschrieben hab)



Dann mach ich das ganze nochmal mit a2 und komme zu einem ähnlichen Ergebnis. Der Rang ist in beiden Fällen 3 also sind beide Vektoren in L enthalten. Stimmt das so weit?


Wenn ichs natürlich auch nicht so schön ausgedrückt hab wie du.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Also so, wie du das geschrieben hast, war das nicht genau zu durchblicken. Außerdem brauchst du den Rang der erweiterten Matrix nicht zu bestimmen, wenn schon die "normale" Matrix den maximalen Rang hat. Denn dann hat auch die erweiterte Matrix maximalen Rang. Anders geht's nicht. smile
 
 
Unwissenderer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Wunderbar, das wäre meine nächste Frage gewesen. smile Danke!
Unwissenderer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Moment, eine Frage hab ich noch:

Mal angenommen ich hab eine Matrix aus den Vektoren b1, b2, b3 und möchte dann überprüfen ob ein Vektor a1 in dieser Hülle enthalten ist.

Dann bastel ich mir das ganze doch so zusammen:


Gut, mal angenommen ich schaff es das Ding dann so umzuformen, dass es im Endeffekt so aussieht:



Dann hab ich rechts doch einen Nullvektor stehen, der Nullvektor ist sicher ein Element der linearen Hülle meiner bs (da ich ja einfach die Vektoren alle mit s, t, u=0 multiplizieren und dann addiere). Und deswegen ist auch mein Vektor a in der linearen Hülle enthalten... Hab ich das richtig interpretiert?
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RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Also ehrlich gesagt bekommst du rechts nur dann den Nullvektor hin, wenn von vorneherein a_1 = a_2 = a_3 = 0 ist. Und der Nullvektor ist immer in der linearen Hülle. Augenzwinkern
Unwissenderer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Hmmm... Aber darf ich nicht auch nach Pivotspalten auflösen? Ich bin mir nicht sicher aber ich bild mir ein vor ein paar Tagen mal ein Beispiel das in diese Richtung ging gesehen zu haben (ist aber gut möglich dass zu erklären war warum man genau das nicht darf, ich weiß es leider nicht mehr). Doof dass ichs jetzt nicht mehr finde Hammer

Ich glaub halt dass es in etwa so ausgesehen hat: (ich markiere mit den Sternchen mal meine Pivotelemente^^)

und dann wurde weiterumgeformt bis irgendwann eben dastand:


Ich hab mir überlegt, dass ich ja die Ursprungsmatrix dazu transponieren könnte, wenn ich dann ganz klassich nach Zeilen auflöse erhalte ich doch eine Nullzeile.... Aber was das dann im Endeffekt heißt ist mir ein Rätsel :-/

Im Übrigen, großes Dankeschön für deine Mühen! Freude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Ich weiß jetzt nicht, warum du da so rum machst. Beherzige, was ich um 10:30 geschrieben habe, und alles ist gut.
Unwissenderer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Beispielt gefunden! Weils in dem Beispiel darum ging ob man das nun so machen darf oder nicht. Im Prinzip war der Rechenweg gegeben und man musste überprüfen ob man diesen gehen darf oder nicht.

Das war die Angabe:
=
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RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Zum einen ist das Gleichheitszeichen zwischen den Matrizen unpassend, zum anderen kann ich nicht erkennen, welche Umformungen du vorgenommen hast. Ein Gemisch aus Zeilen- und Spaltenumformungen ist jedenfalls unzulässig.
Unwissenderer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Schritt 1:
Spalte 1 wird 3 mal von Spalte 2 und 3 abgezogen
Schritt 2:
Spalte 2 wird 2 mal von Spalte 3 abgezogen

Irgendwo dürfte ich mich vertippt/verguckt haben.
Nehmen wir mal an es würde so stimmen... darf ich das grundsätzlich so machen und was heisst das ganze dann?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vektoren in linearer Hülle enthalten
Wenn du durch Spaltenumformungen rechts auf eine Nullspalte kommst, heißt das, daß sich der Vektor a durch eine Linearkombination aus den "b"-Vektoren darstellen läßt. smile
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