entropisches Risikomaß konvex zeigen

19.11.2014, 13:33	nobody12	Auf diesen Beitrag antworten »
entropisches Risikomaß konvex zeigen Meine Frage: Ich will zeigen, dass das bedingte entropische Risikomaß konvex ist. Ich weiß aus versch. Literatur, dass es konvex ist, nur einen Beweis finde ich nirgends. Also: $\begin{eqnarray} pt : X -> Xt, pt(X) = log (EW [e^{-X}\|Ft] \end{eqnarray}$ soll erfüllen: $\begin{eqnarray} pt(\alpha X + (1-\alpha )Y) \leq \alpha pt(X) + (1-\alpha ) pt(Y) \end{eqnarray}$ für zwei Auszahlungsprofile X,Y auf einem geeigenten Wahrscheinlichkeitsraum. Die Xt bzw. Yt sollen messbar sein bzgl. Ft aus einer geeigneten Filtration. EW steht für Erwartungswert. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} e^{-aX-(1-a)Y} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} e^{-aX}e^{-(1-a)Y} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (e^{-X})^a(e^{-Y})^{1-a} \end{eqnarray}$ Aber nun ist ja $\begin{eqnarray} EW((e^{-X})^a(e^{-Y})^{1-a}\|Ft) \neq EW((e^{-X})^a\|Ft)EW((e^{-Y})^{1-a}\|Ft) \end{eqnarray}$ wenn X und y nicht unabhängig sind. Wie geht es nun richtig?
21.11.2014, 18:05	drmock2	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: entropisches Risikomaß konvex zeigen $\begin{eqnarray} pt(-aX-(1-a)Y)=log(EW(e^{-aX-(1-a)Y)}<br /> \leq log(EW(ae^{-X}+(1-a)e^{-Y}) (e^{x} ist konvex)<br /> = log(aEW(e^{-X}+(1-a)EW(e^{-Y}))<br /> \leq log(amax(EW(e^{-Y},EW(e^{-X}))+(1-a)max(EW(e^{-Y},EW(e^{-X})))<br /> =log(max(EW(e^{-Y},EW(e^{-X}))<br /> \leq 0 \end{eqnarray}$ Somit wird die Konvexität von pt durch die Konvexität der Akzeptanzmenge At gezeigt. Wenn X,Y in At liegt, dann liegt also auch aX+(1-a)Y darin für ein a in (0,1) Kennt sich hier jemand aus und kann mir sagen, ob das richtig ist oder ob hier irgendwo ein Fehler liegt.

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