Differentialgleichung

19.11.2014, 13:52

Moritzx0x

Differentialgleichung

Hallo,

habe folgende Aufgabe:

Wir haben ein Becken mit einer Temperatur von 90 Grad Celsius, die Außentemperatur beträgt dabei 20 Grad Celsius. Durch natürliche Abkühlung sinkt die Temp im Becken um 0,8 Prozent der Differenz zwischen Becken- und Außentemp pro Minute. Durch eine Kühlanlage sinkt die Temperatur pro Minute zusätzlich um 1,5 Grad Celsius. Für t>= 0 gebe u(t) die Temp im Becken in Grad Celsius nach t Minuten an.
1. Stelle eine Differentialgleichung auf.
2. gebe eine explizite Lösung des Anfangswertproblems zur Differentialgleichung an und bestimme mit der expliziten Kösung das Langzeitverhalten der Temperatur, also den Limes für t-> unendlich.

Also für die 1. habe ich folgendes:
Wenn wir das entdimensionalisieren und die Skalen wählen: u=1 Grad Celsius und t= 1 Minute, dann
u'(t)= -0,008(u(t)-20)-1,5
Für die 2 steht in den Lösungen:
y= ce^{-0,008t} , c aus R. Das ist die homogene Lösung
y_p(t)=k. , k aus R in die DGL einsetzen, das ist die partikuläre Lösung
0=y'_p(t)= -0,008(k-20)-1,5
k= -167,5=y_p(t)

Die allgemeine Lösung ist y(t)= ce^{-0,008t}-167,5
90=y(0)=c-167,5. woher kommt die 90?
c=257, 5
y(t)= 257,5 e^{-0,008t}-167,5
Lim für t-> unendlich u(t)= -167,5

Könntet ihr mir das vielleicht erklären?

Liebe Grüße

19.11.2014, 13:57

Hausmann

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RE: Differentialgleichung
Guten Tag,

und nur ganz flüchtig:

Zitat:

Original von Moritzx0x
Wir haben ein Becken mit einer Temperatur von 90 Grad Celsius[...]
90=y(0)=c-167,5. woher kommt die 90?

mfG

19.11.2014, 14:05

Moritzx0x

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RE: Differentialgleichung
Big Laugh

aso, stimmt ja, danke.
Aber ich verstehe den Rest nicht, woher kommt denn die eFunktion?

19.11.2014, 14:09

Hausmann

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RE: Differentialgleichung
Ähnliches Problem

http://www.matheboard.de/archive/524468/thread.html

EDIT Grundgedanke: Temperaturänderung proportional Temperatur (in Kelvin), und das führt zu Exponential- oder Winkelfunktionen (Geburt / Tod oder Schwingung).

mfG

19.11.2014, 14:22

Moritzx0x

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RE: Differentialgleichung
Ja, aber da müssen die Tage bestimmt werden. Ist nicht so das gleiche. Das hilft mir leider nicht weiter.

19.11.2014, 14:38

Hausmann

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RE: Differentialgleichung
Von Tagen steht nichts in der Frage.

Ansonsten muß ich 'ne Weile weg; aber es gibt genug freundliche & fachkundige Leute hier.
smile

19.11.2014, 14:49

Moritzx0x

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RE: Differentialgleichung
Ok, dake dir. Kann mir jmd anderes weiterhelfen?

19.11.2014, 20:38

Hausmann

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RE: Differentialgleichung
In aller Kürze

Temperaturen T werden in Kelvin K angegeben, Celsiuswerte als $\begin{eqnarray*} \vartheta = [T-273,15 K]\ °C \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} T(t) \end{eqnarray*}$ Temperatur des Beckens, zeitabhängig
$\begin{eqnarray*} T_0:=T(0) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_u \end{eqnarray*}$ Temperatur Umgebung

Kleinere Körper kühlen gleichmäßig ab, ihre Temperaturänderung kann näherungsweise als proportional der Temperaturdifferenz zur Umgebung angenommen werden, $\begin{eqnarray*} \frac{dT}{dt}=-k(T-T_u) \end{eqnarray*}$ , und durch Trennung der Variablen und Berücksichtigung der Anfangsbedingung ergibt sich daraus die erwähnte Gesetzmäßigkeit $\begin{eqnarray*} T(t)=T_u+(T_0-T_u)\cdot e^{-kT} \end{eqnarray*}$

Der Abkühlungsfaktor k müßte anhand der Hinweise bestimmt werden.
$\begin{eqnarray*} T(\infty) \end{eqnarray*}$ dürfte klar sein.

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