nicht erwartungstreue Schätzer

19.11.2014, 15:13	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht erwartungstreue Schätzer Meine Frage: Folgende Aufgabe bereitet mir leider Probleme: Sei $\begin{eqnarray} X_{i}\sim\ Bin(m,p) \end{eqnarray}$ mit bekanntem $\begin{eqnarray} m\in\mathbb N \end{eqnarray}$ und unbekanntem $\begin{eqnarray} p\in \left(0,1\right) \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass es keinen erwartungstreuen Schätzer (bei einelementiger Stichprobe) für $\begin{eqnarray} \theta=\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ gibt. Meine Ideen: In unserer Vorlesung haben wir definiert: $\begin{eqnarray} \hat{\theta} \end{eqnarray}$ ist erwartungstreu, wenn $\begin{eqnarray} \mathbb E_{\theta}\left[\hat{\theta}\left(X_{1},...,X_{n}\right)\right]=\theta,\ \forall \ \theta\in\Theta \end{eqnarray}$ . Da wir eine einelementige Stichprobe betrachten sollen, besteht die Stichprobe dann ja eigentlich nur aus , $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow \mathbb E_{\theta}\left[\hat{\theta}(X_{1})\right]=\theta<br /> \Rightarrow \mathbb E_{\frac{1}{p}}\left[\hat{\theta}(X_{1})\right]=\frac{1}{p} \end{eqnarray}$ Dann habe ich noch versucht, die Likelihoodfunktion aufzustellen, die bei mir wie folgt aussieht: $\begin{eqnarray} L(X_{1},p)=\mathbb P\left[X_{1}=x_{1}\right]=\begin{pmatrix} m \\ k \end{pmatrix} p^{k}(1-p)^{n-k}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} p^{1}(1-p)^{0}=p \neq \frac{1}{p} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ die Realisierung von $\begin{eqnarray} X_{1} \end{eqnarray}$ . Kann ich dann direkt sagen, da die Likelihoodfunktion nicht $\begin{eqnarray} \theta \end{eqnarray}$ ergeben kann, existiert kein erwartungstreuer Schätzer?

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