Epsilon beim Folgengrenzwert bestimmen

19.11.2014, 16:41

BaumiKlein

Epsilon beim Folgengrenzwert bestimmen

Meine Frage:
Hey Leute,

könnte mir nochmal jmd anhand eines Beispieles erklären, wie ich das Epsilon eines Folgengrenzwertes bestimme? Hab das Schema an sich schon verstanden (denke ich Big Laugh

) allerdings stellt sich mir dann z.B die Frage, ab wann sich die Folge denn dann dem Grenzwert annähert..

Meine Ideen:
Z.B. |1/n - 0|=|1/n|= 1/n < Epsilon <=> 1/Epsilon < n ...?

Aber ab wann sage ich denn dann, was mein n0 ist?!
Wäre super wenn mir das jmd erklären könnte und evtl auch noch ein weiteres Beispiel geben könnte! smile

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Viele Grüße
Steffen

19.11.2014, 17:10

bijektion

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Zitat:

Aber ab wann sage ich denn dann, was mein n0 ist?!

Das Epsilon ist vorgegeben, du könntest dann etwa $\begin{eqnarray*} n_0=\lceil \frac{1}{\varepsilon}\rceil +1 \end{eqnarray*}$ wählen.

19.11.2014, 17:24

crushiii

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Du musst generell dein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ in Abhängigkeit von Epsilon wählen.

Bezogen auf dein Beispiel, wähle mal $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0,1 \end{eqnarray*}$ .
Wie groß muss dann dein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sein, wenn du das archimedische Axiom verwendest?

Du sagst ja selbst:
$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{1}{n} < \epsilon \Leftrightarrow n > \frac{1}{\epsilon}<br /> \end{eqnarray*}$

Daraus folgt doch:
$\begin{eqnarray*} <br /> \Rightarrow n > \frac{1}{0,1} \Rightarrow n > 10<br /> \end{eqnarray*}$

Also ist dein $\begin{eqnarray*} n_0 \ge 11 \end{eqnarray*}$ .

Nun greifst du auf die Definition zurück:
Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ existiert ein $\begin{eqnarray*} n_0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass für alle $\begin{eqnarray*} n \ge n_0 \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} - 0 | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Das musst du halt übertragen auf einen allgemeinen Ausdruck, der von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängig ist.
Denn es gilt immer: Je kleiner das gewählte/gegebene $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ , desto größer muss dein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ sein Augenzwinkern

19.11.2014, 18:02

epsilonBaumi

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Danke für eure Antworten (Accountwechsel, weil ich vorher nicht angemeldet war :P )

@bijektion:

Ich mache zurzeit einen Studienaustausch nach Finnland und soweit ich das verstehe, haben wir das Epsilon nicht vorgegeben. So Aufgaben a lá: "Gegeben sei die Zahlenfolge 1/n. Zeigen Sie, dass die Folge gegen 0 konvergiert."

@crushiii:

Ok, aber wieso sage ich, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon = 0,1 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1/11 \end{eqnarray*}$ .
Wie gesagt: ich denke ich habe das Prinzip an sich schon verstanden, allerdings geht mir diese.. Willkürlichkeit Big Laugh

nicht so ganz in den Kopf.

19.11.2014, 18:05

bijektion

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Zitat:

"Gegeben sei die Zahlenfolge 1/n. Zeigen Sie, dass die Folge gegen 0 konvergiert."

Da steckt die "Wahl" des Epsilon drin. Es ist wichtig, das du für jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ angeben kannst.

Für ein festes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist das leicht und ist noch lange keine Konvergenz.

19.11.2014, 18:12

epsilonBaumi

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OK. Könntest du mir das nochmal anhand eines Beispieles erklären?

19.11.2014, 18:17

bijektion

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Die Folge $\begin{eqnarray*} b_n=\frac{(-1)^n}{10^{100}} \end{eqnarray*}$ ist offenbar nicht konvergent. Wenn du aber nur ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ wählst, etwa $\begin{eqnarray*} \varepsilon=10^{-50} \end{eqnarray*}$ , so ist trotzdem für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} |b_n|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .
Trotzdem konvergiert $\begin{eqnarray*} (b_n) \end{eqnarray*}$ nicht gegen null, denn es gibt ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , für das es kein geeignetes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gibt; etwa $\begin{eqnarray*} \varepsilon=10^{-1000} \end{eqnarray*}$ .

Letzteres ist ein typische Weg um zu zeigen, das eine Folge nicht gegen einen vermuteten Grenzwert konvergiert.

19.11.2014, 19:56

crushiii

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Also wenn du es wirklich mit konkreten Zahlen machen 'müsstest', dann stell es dir wie ein Spiel vor Big Laugh

Jemand sagt: $\begin{eqnarray*} \epsilon = \frac{1}{100} \end{eqnarray*}$ , dann sagst du (mit dem Wissen über das archimedische Axiom): $\begin{eqnarray*} n \ge 101 \end{eqnarray*}$

Die Beweisidee ist so, dass du zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ findest, so dass die Folgenglieder innerhalb der $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung liegen.

Das musst du nun abstrahieren und von den Zahlen loskommen. Es ist aber das gleiche, nur dass du versuchst, das in direkter Abhängigkeit vom $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu machen.

Das Beispiel wurde vorhin ja schon für diesen Fall gezeigt: $\begin{eqnarray*} n_0=\lceil \frac{1}{\varepsilon}\rceil +1 \end{eqnarray*}$

20.11.2014, 12:34

epsilonBaumi

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Die Sache ist, dass wir wie gesagt so etwas bekommen wie "Gegeben sei die Zahlenfolge a. Zeigen sie dass diese gegen den Grenzwert g konvergiert!"

Der Lehrer/Prof/was auch immer er ist Big Laugh

... errechnet sich dann das epsilon immer.
Er beginnt eben wie gesagt mit |a-g|< $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ und rechnet das, was im Betrag steht immer weiter um, bis es ihm passt. Un ich hab eben kein Plan wie er es macht verwirrt

dachte eig ich hätte es schon verstanden, da ich allerdings in einem "zwischen-exam" nicht viele Punkte bekommen habe, lag ich da wohl falsch...

20.11.2014, 12:56

bijektion

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Der macht genau das, was ich oben gemacht habe. Dann gib doch mal ein Beispiel an, das du nicht verstehst.

20.11.2014, 13:40

epsilonBaumi

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Zum Beispiel diese: $\begin{eqnarray*} \frac{3n+2}{2n^{2}-1} \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{3n+2}{2n^{2}-1} = 0 \end{eqnarray*}$ .

20.11.2014, 13:50

crushiii

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Das ist aber ein recht triviales Beispiel, da du dafür auf bereits bewiesenes zurückgreifen kannst (solltest).

Du teilst also zuerst einmal durch den höchsten, vorkommenden Exponenten und erhältst:

$\begin{eqnarray*} \frac{ \frac{3}{n} + \frac{2}{n^2}}{2 - \frac{1}{n^2}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kannst du schon den Grenzwert bestimmen.

Du kannst an dieser Stelle auch folgendes tun, falls ihr $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ noch nicht bewiesen habt.

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest.
Es gilt: $\begin{eqnarray*} n < n^2 \Leftrightarrow \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ (nach archimedischem Axiom)

Du weißt bereits aus der Vorlesung (hoffentlich): $\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ . (Ist Nullfolge)

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} | \frac{1}{n^2} - 0 | = | \frac{1}{n^2} | = \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n} < \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Dann ist der Beweis schon fertig.

20.11.2014, 14:21

epsilonBaumi

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Es stimmt schon dass das relativ trivial ist, hatte das in den Übungsaufgaben auch genau so gemacht und den höchsten Exponenten ausgeklammert. Allerdings war die Antwort dann: Zeige es mit dem Epsilon... Und das ich dann sage Epsilon <>= eines bestimmten n ist eben genau das, woran es bei mir scheitert...

vllt bissl doofe frage aber was besagt das arch. axiom denn nochmal genau?^^

20.11.2014, 16:53

crushiii

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Wenn du es genauso gemacht hast, dann hast du es in Relation zu einem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ gezeigt.

Das Ausklammern oder Kürzen ist nur eine Art Vorüberlegung, um den Ausdruck auf etwas bekanntes zurück zu führen und es damit zu zeigen.

Der letzte Teil (das Abschätzen von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2} < \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist der Beweis mit einem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ !
Du vereinfachst es nur, da du schon weißt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist.

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