Cramér-Rao-Effizienz

19.11.2014, 17:02	planlos93	Auf diesen Beitrag antworten »
Cramér-Rao-Effizienz Meine Frage: Seien $\begin{eqnarray} X_{1},...,X_{n} \end{eqnarray}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray} X_{i}\sim Exp(\theta) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \theta > 0 \end{eqnarray}$ ubekannt. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} c/\overline{X_{n}} \end{eqnarray}$ nicht Cramér-Rao-effizient ist. Meine Ideen: aus einem vorherigen Aufgabenteil weiß ich bereits, dass c=n(n-1) gilt. Definiert haben wir Folgendes: Ein erwartungstreuer Schätzer ist Cramér-Rao-effizient, falls $\begin{eqnarray} Var_{\theta}(X_{1},...,X_{n})=\frac{1}{nI(\theta)} \end{eqnarray}$ gilt. $\begin{eqnarray} <br /> I(\theta)=\mathbb E_{\theta}\left[\left(Dl_{\theta}(x)\right)^{2}\right] <br /> <br /> Dl_{\theta}(x)=\frac{\delta}{\delta\theta}l_{\theta}(x)<br /> =\frac{\delta}{\delta\theta}log\ h_{\theta}(x)<br /> =\frac{\delta}{\delta\theta}log\ exp(\theta)<br /> =\frac{\delta}{\delta\theta}log \left(\theta e^{-\theta x}\right)<br /> =\frac{\delta}{\delta\theta}log(\theta)(-\theta x)<br /> =\frac{\delta}{\delta\theta}\frac{1}{\theta}(-\theta x)<br /> =\frac{\delta}{\delta\theta}(-x)=0<br /> \Rightarrow \mathbb E_{\theta}\left[\left(Dl_{\theta}(x)\right)^{2}\right]=\mathbb E_{\theta}\left[0^{2}\right]=\mathbb E_{\theta}(0)=0<br /> \Rightarrow I(\theta)=0<br /> \Rightarrow Var_{\theta}\hat{\theta}(x_{1},...,x_{n}) \neq \frac{1}{nI(\theta)} \end{eqnarray}$ Kann das passen oder habe ich da riesige Denkfehler drin? Danke schon mal für jeden Tipp!

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