Folge auf Zählmaß integrierbar wenn Reihe konvergiert

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panspeter123 Auf diesen Beitrag antworten »
Folge auf Zählmaß integrierbar wenn Reihe konvergiert
Hallo,
erneut eine alte klausur aufgabe aus Analysis 3

Sei das Zählmaß auf den natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Folge genau dann -integrierbar ist, wenn die Reihe absolut konvergiert.

Ideen:
Ich fasse quasi als folge einfacher funktionen auf.
Dann ist das integral über eines der
.

Und somit ist das Integral über die ganze Folge .

Daraus folgt die Behauptung.
Korrek ? verwirrt
panspeter Auf diesen Beitrag antworten »

jemand ne idee obs die richtige idee ist oder ob es totaler quatsch ist ?
danke
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

bei einer Äquivalenz muss man zwei Richtungen zeigen, ich hoffe, das ist dir bewusst ?!

Wir nehmen also zunächst mal an, dass integrierbar ist und folgern dann, dass absolut konvergiert.

Was genau meinst du mit
Zitat:
Ich fasse quasi als folge einfacher funktionen auf.
? Also was ist genau deine Folge von Funktionen hier?

Der Ausdruck macht keinen Sinn. Meinst du ? Das dahinter macht überhaupt keinen Sinn, tut mir Leid.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kurze Anmerkung, dann bin ich wieder weg:

Es ist wohl ziemlich klar, dass man hier synonym von auszugehen hat, d.h. die Zählmaßintegrale betrachtet. Augenzwinkern
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir da nicht so sicher ob das jedem klar ist, wenn ich mir das, was hinter steht, anschaue Augenzwinkern Deswegen wollte ich da nachmal nachhaken.

Für mich sieht es so aus, als würden nach panspeter die nun eine Funktionenfolge sein, und dann das Integral über eine einzelne solcher Funktionen.
panspeter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
bei einer Äquivalenz muss man zwei Richtungen zeigen, ich hoffe, das ist dir bewusst ?!

Ja, das ist mir bewusst. In meinen wirren Gedankengängen waren alles Äquivalenzumformungen ...
Zitat:
Also was ist genau deine Folge von Funktionen hier?

Ich denke nun, dass man wohl eher als Funktion auffassen kann, nicht als Folge von Funktionen.
Also probiere ich es nochmal:
Sei zunächst mit
Hinrichtung:
Die Folge ( also f) sei integrierbar.


Bei der Rückrichtung würde ich sagen dass man die Schritte von der Hinrichtung rückwärts gehen kann.

Ich hoffe ich bin jetzt etwas näher an der lösung dran.
Zitat:
Das dahinter macht überhaupt keinen Sinn, tut mir Leid.

Nicht schlimm. Da wo meine größten Fehler liegen kann ich mich am besten verbessern.
Deshalb danke !
 
 
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Ich denke nun, dass man wohl eher als Funktion auffassen kann, nicht als Folge von Funktionen.


Ja, richtig. Wenn dir das klar ist, brauchst du dafür auch nicht extra ein einführen. Du kannst das dann schon so schreiben. Es war mir nur wichtig, dass dir der Zusammenhang klar ist. (Du kannst natürlich trotzdem gerne bei bleiben, wenn du das willst.)

Warum aber sind deine Folgen -wertig? Das halte ich für ziemlich ungewöhnlich und dann ist die Menge der integrierbaren Folgen auch ziemlich übersichtlich.

Geh doch zunächst mal von integrierbar zu integrierbar über, damit du auch absolute Konvergenz bekommst. Wenn du das alles berücksichtigst, bist du so gut wie fertig.
panspeter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Warum aber sind deine Folgen -wertig?

Habe das verwechselt weil das Maß das Zählmaß auf den natürlichen Zahlen ist.

Also:
Es gilt wegen

Nun ist
Also konvergiert die Reihe absolut.
( Stimmt das ganze denn so ?! ich nehme ja hier eigentlich an dass es eine einfache Funktion ist, aber das is ja nicht der Fall weil f unendlich viele Werte annehmen kann oder ? )


Rückrichtung:
Sei


Daraus folgt integrierbarkeit.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen,

du solltest deine Summen lieber über anstatt über laufen lassen, da Summen über überabzählbare Indexmengen nicht viel Sinn machen Augenzwinkern

Zitat:
( Stimmt das ganze denn so ?! ich nehme ja hier eigentlich an dass es eine einfache Funktion ist, aber das is ja nicht der Fall weil f unendlich viele Werte annehmen kann oder ? )


Genau weil du davon immer einfach so ausgegangen bist, dachte ich, diese Gleichheit wäre dir klar. Wenn dem nicht so ist, musst du das ausführlicher machen.

Nimm dir dafür zum Beispiel die Folge einfacher Funktionen


Ich muss übrigens jetzt los. Ich müsste dich also auf später oder einen anderen Helfer vertrösten Augenzwinkern
panspeter Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
du solltest deine Summen lieber über anstatt über laufen lassen

verstehe Augenzwinkern

Zitat:
Nimm dir dafür zum Beispiel die Folge einfacher Funktionen


ok. also das ist eine nichtnegative, aufsteigende Folge mit
Und dann gilt

Daher folgen die Umformungen die ich gemacht habe, richtig ?

Also nochmal ordentlich.


Und die Rückrichtung funktioniert dann tatsächlich Analog ?

Zitat:
Ich muss übrigens jetzt los. Ich müsste dich also auf später oder einen anderen Helfer vertrösten Augenzwinkern

Kein problem, vielen Dank für deine Hilfe !
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Folge zur Verfügung hast, kannst du sie doch auch benutzen Augenzwinkern



und die andere richtung analog.
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