Wenn an konvergiert, konvergiert auch sn

19.11.2014, 17:27

Shinobi.Master

Wenn an konvergiert, konvergiert auch sn

Hallo Mathemeister,

ich bräuchte bitte eure Unterstützung für folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (a_{n})_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge. Sei $\begin{eqnarray*} (s_{n}) \end{eqnarray*}$ die Folge, die durch

$\begin{eqnarray*} <br /> s_{n}:=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \end{eqnarray*}$ ,

definiert ist.

a) Beweisen Sie: Wenn $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann konvergiert auch die Folge $\begin{eqnarray*} s_{n} \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall gilt $\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} s_{n} = lim_{n->\infty} a_{n} \end{eqnarray*}$ .

b) Beweisen oder widerlegen Sie mit einem Gegenbeispiel die Gültigkeit der Umkehrung.

Mein Problem ist hier nicht das Verständnis, sondern ich weiß nicht wie ich anfangen soll, um den Beweis zu führen.

Ich bedanke mich für jeden hilfreichen Lösungsansatz.

19.11.2014, 17:45

Matt Eagle

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RE: Wenn an konvergiert, konvergiert auch sn
Stichworte: Cesaro-Konvergenz, Cauchyscher Grenzwertsatz

19.11.2014, 23:36

Shinobi.Master

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Ich habe mir dazu einige Seiten angesehn z.B. Wikipedia oder Matheforum

Dort wird mehr oder weniger $\begin{eqnarray*} s_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ betrachtet, ist das das gleiche wie $\begin{eqnarray*} s_n=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Und kann ich einfach den dort benutzten Beweis haargenau so benutzen?

20.11.2014, 10:49

Matt Eagle

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Dort wird mehr oder weniger $\begin{eqnarray*} s_n:=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n a_i \end{eqnarray*}$ betrachtet, ist das das gleiche wie $\begin{eqnarray*} s_n=\frac{a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}{n} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, sicher! Da sollte es eigentlich keiner Rückfrage bedürfen. Mach dich mit dem Summenzeichen vertraut!

Zitat:

Original von Shinobi.Master
Und kann ich einfach den dort benutzten Beweis haargenau so benutzen?

Davon ist auszugehen. Allerdings kann ich nur dringend davon abraten einfach blind ne Lösung abzupinnen. Das führt zu nix!
Versuche mindestens genau zu verstehen wie der Beweis funktioniert.

20.11.2014, 15:57

Shinobi.Master

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Sehr gut.

Und die Umkehrung der Aufgabe heißt ich soll zeigen oder widerlegen, dass wenn $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ konvergent ist, konvergiert auch die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ?

Also $\begin{eqnarray*} lim_{n->\infty} a_{n} = lim_{n->\infty} s_{n} \end{eqnarray*}$ ?

Da geh ich dann genau so vor wie bei a) nur wird der Beweis von hinten nach vorne durchgeführt oder?

20.11.2014, 16:04

HAL 9000

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Nein: Die Rückrichtung ist falsch, daher genügt da die Angabe einer Gegenbeispiel-Folge.

20.11.2014, 16:29

Shinobi.Master

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Also soll ich da nur eine Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ finden, um diese Aussage zu Beweisen/Widerlegen.

Also so $\begin{eqnarray*} a_{n} =s_{1}n+s_{2}n+...+s_{n}n \end{eqnarray*}$

Wäre das, dass richtige Gegenbeispiel?

21.11.2014, 22:26

Shinobi.Master

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Oder komme ich damit nicht ans Ziel?

22.11.2014, 00:11

HAL 9000

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Ich hatte an eine konkrete Folge $\begin{align*} (a_n) \end{align*}$ gedacht. Was du da hingeschrieben hast, ist mir vollkommen unverständlich. Ich kann nicht mal ansatzweise nachvollziehen, wie man auf den Gedanken kommen kann, das für ein passendes Beispiel zu halten. unglücklich

22.11.2014, 15:44

Shinobi.Master

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Wie sieht dann ein konkretes Gegenbeispiel aus?

22.11.2014, 17:14

HAL 9000

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Na z.B. $\begin{align*} a_n = (-1)^n \end{align*}$ .

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