Integrale über verschiedene Bereiche fast gleich

19.11.2014, 17:33

panspeter123

Integrale über verschiedene Bereiche fast gleich

Hallo,

wieder eine Analysis 3 Klausuraufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} f:X\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ integrierbar. Man zeige, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ eine Menge $\begin{eqnarray*} A\subseteq X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mu(A)<\infty \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} |\int_Xfd\mu-\int_Bfd\mu|<\epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \in \mathbb A \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
1. Fall:
$\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ ist endlich.
Dann kann man $\begin{eqnarray*} A=X=B \end{eqnarray*}$ wählen.

2.Fall:
$\begin{eqnarray*} \mu(X)=\infty \end{eqnarray*}$
Wähle $\begin{eqnarray*} A=\{x \in X | f(x)>\delta \} \end{eqnarray*}$

Nach einer anderen Aufgabe ist bekannt, dass $\begin{eqnarray*} \mu(B)<\infty \end{eqnarray*}$ .
Ist denn mit dieser Wahl auch die Behauptung erfüllt ?
Meine Idee ist, dass man dadurch, dass man das delta sehr klein wählt, fast über ganz X integriert, also nur einen kleinen Fehler, nämlich $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ hat.

20.11.2014, 00:13

Guppi12

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Hallo,

ja, deine Idee ist gut. Die Fallunterscheidung brauchst du aber nicht, der 2. Fall enthält schließlich den 1. Fall. Was aber machst du, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ sehr große negative Anteile hat? Fällt dir was ein, wie man $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ modifizieren könnte, um das mitabzudecken?

Wenn du das hast, musst du aber noch sicherstellen, dass es so tatsächlich funktioniert. Dafür würde ich an deiner Stelle versuchen, den Ausdruck $\begin{eqnarray*} |\int_Xfd\mu-\int_Bfd\mu| \end{eqnarray*}$ zu vereinfachen und nach oben abzuschätzen. Fällt dir dazu was ein?

20.11.2014, 10:34

panspeter123

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also, ich habe wohl die negativen anteile von f vernachlässigt. Das müsste man so in den Griff bekommen:
$\begin{eqnarray*} A=\{x \in X : |f(x)| > \delta \} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mu(A)<\infty \end{eqnarray*}$ , weil $\begin{eqnarray*} A=\{x \in X : f(x) > \delta \}\cup \{x \in X : f(x)<-\delta \} \end{eqnarray*}$ .

Dann gilt:
$\begin{eqnarray*} |\int_Xf(x)d\mu-\int_Af(x)d\mu|=|\int_{X\setminus A}f(x)d\mu|=|\int_{ \{ x \in X : |f(x)|\leq \delta \}} f(x)d\mu|\leq \int_{ \{ x \in X : |f(x)|\leq \delta \}} |f(x)|d\mu\leq \delta \int \chi_{ \{ x \in X : |f(x)|\leq \delta \}}d\mu \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Weg?
Ich würde nun denken, dass , da man delta beliebig klein wählen kann, das Integral nicht unendlich ist.
Ist das richtig?

20.11.2014, 12:48

Guppi12

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Nein, das funktioniert so nicht.
Zunächst mal hast du bei deiner Abschätzung jetzt $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ außenvorgelassen. Aber auch wenn du das einbaust, kommst du damit hierhin: $\begin{eqnarray*} \int_{\{x\in X~\vert~ |f(x)|\leq \delta\}}|f(x)|d\mu \end{eqnarray*}$ . Dann allerdings ist die Abschätzung zu dem Term dahinter zu grob. Betrachte dafür zum Beispiel $\begin{eqnarray*} X = \mathbb R, f:\mathbb R\to\mathbb R, x\mapsto \frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray*}$ .

Weiter als bis dort hin kannst du erstmal nicht abschätzen. Du musst dieses Integral selbst vernünftig klein bekommen. Schau dir dafür zum Beispiel die Funktionenfolge $\begin{eqnarray*} f_n :X\to\mathbb R, x\mapsto \chi_{\{x\in X~\vert~ |f(x)|\leq \frac{1}{n}\}}|f(x)| \end{eqnarray*}$ an. Wohin konvergiert sie? Was bringt uns das?

20.11.2014, 14:42

panspeter

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Also mein Plan war es, am Ende zu sagen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} B \subseteq X \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ gilt.

Die Abschätzung ist dann zu "grob" ? oder einfach falsch ?

Wenn ich mir die Folge anschaue, sehe ich, dass sie gegen 0 konvergiert. ( Aufgrund dessen, dass $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ gegen 0 geht.)

Kann man nun so etwas machen ? ( da man $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ beliebig wählen kann, z.b. $\begin{eqnarray*} \delta=n+1 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \int_{\{x\in X~\vert~ |f(x)|\leq \delta\}}|f(x)|d\mu \leq \int_{\{x \in X~\vert~ |f(x)|\leq \frac{1}{n}\}} |f(x)|d\mu \longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ ?

Ich gehe davon aus das ist falsch aufgeschrieben, aber tue mich gerade schwer es besser zu machen verwirrt

20.11.2014, 17:53

Guppi12

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Zitat:

Die Abschätzung ist dann zu "grob" ? oder einfach falsch ?

Nein, ist zu grob. Sie dir doch das Beispiel mal an, was ich dir gegeben hatte. Welchen Wert hat dort das letzte Integral?

Zitat:

Wenn ich mir die Folge anschaue, sehe ich, dass sie gegen 0 konvergiert.

Das ist richtig. Du schließt hier direkt, dass die Folge der Integrale dann auch gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Warum genau ist das so? Welcher Satz sagt das?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \int_{\{x\in X~\vert~ |f(x)|\leq \delta\}}|f(x)|d\mu \leq \int_{\{x \in X~\vert~ |f(x)|\leq \frac{1}{n}\}} |f(x)|d\mu \longrightarrow 0 \end{eqnarray*}$ ?

Das funktioniert so natürlich nicht. Für festes $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ ist das ja nunmal einfach falsch.

Aber kannst du nicht mit Hilfe dieser Konvergenz des Integrals gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ angeben, dass von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängt, womit du $\begin{eqnarray*} \int_{\{x\in X~\vert~ |f(x)|\leq \delta\}}|f(x)|d\mu < \epsilon \end{eqnarray*}$ erhälst?

Definition der Folgenkonvergenz beachten.

20.11.2014, 22:59

panspeter

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Zitat:

Nein, ist zu grob. Sie dir doch das Beispiel mal an, was ich dir gegeben hatte. Welchen Wert hat dort das letzte Integral?

Das ist ja:

$\begin{eqnarray*} \delta \int \chi_{ \{ x \in X : |\frac{1}{1+x^2}|\leq \delta \}}d\mu \end{eqnarray*}$
Das ist unendlich, weil die Funktion gegen 0 geht, und somit für jedes delta noch unendlich viele werte in der Menge liegen ?

Zitat:

Du schließt hier direkt, dass die Folge der Integrale dann auch gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Warum genau ist das so? Welcher Satz sagt das?

Ist bei uns im Skript eine Folgerung aus dem Satz der monotonen Konvergenz:
Sei $\begin{eqnarray*} f_1 \geq f_2 \geq \dots \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Folge nichtnegativer integrierbarer Funktionen.
Dann ist $\begin{eqnarray*} f=\lim_{n \rightarrow \infty} f_n \end{eqnarray*}$ integrierbar und
$\begin{eqnarray*} \int fd\mu=\lim_{n \rightarrow \infty} \int f_n d\mu \end{eqnarray*}$ .

Daher konvergiert die Folge der Integrale gegen 0 denke ich.

Zitat:

Aber kannst du nicht mit Hilfe dieser Konvergenz des Integrals gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ angeben, dass von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ abhängt, womit du $\begin{eqnarray*} \int_{\{x\in X~\vert~ |f(x)|\leq \delta\}}|f(x)|d\mu < \epsilon \end{eqnarray*}$ erhälst?

hmm, ich steh wohl am schlauch.
Also wir suchen etwas wie $\begin{eqnarray*} \delta=c\epsilon \end{eqnarray*}$ ( oder einen nichtlinearer zusammenhang).
Wir wollen ja dann bestimmt, dass unser Integral kleiner ist als das Integral über die Folge, oder wo benutzen wir die Konvergenz des Integrals über die Folge?

Folgt dann aus dem

20.11.2014, 23:06

Guppi12

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Zitat:

Also wir suchen etwas wie $\begin{eqnarray*} \delta=c\epsilon \end{eqnarray*}$ ( oder einen nichtlinearer zusammenhang).

Nein, so ein starker Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ muss nicht existieren.

Was sagt dir denn die Definition der Folgenkonvergenz (zu vorgegebenem $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ ) über die Folge $\begin{eqnarray*} \left(\int_{\{x \in X~\vert~ |f(x)|\leq \frac{1}{n}\}} |f(x)|d\mu \right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ ?

20.11.2014, 23:50

panspeter

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Ahhh, jetzt klingelts.
$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : \forall k>n: |f_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$
Das heißt in unserem Falle, es gibt ein k sodass:
$\begin{eqnarray*} \left(\int_{\{x \in X~\vert~ |f(x)|\leq \frac{1}{k}\}} |f(x)|d\mu \right)<\epsilon \end{eqnarray*}$

Also wählt man $\begin{eqnarray*} \delta=k \end{eqnarray*}$ . Dieses k ist abhänig von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Daher also die Abhängigkeit deltas von epsilon.

21.11.2014, 00:03

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : \forall k>n: |f_n|<\epsilon \end{eqnarray*}$

Eigentlich müsste an dieser Stelle statt $\begin{eqnarray*} |f_n| \end{eqnarray*}$ etwas anderes stehen, denn es ist ja nicht diese Folge, die wir betrachten.

Zitat:

Also wählt man $\begin{eqnarray*} \delta=k \end{eqnarray*}$ .

wirklich ? Augenzwinkern

21.11.2014, 11:44

panspeter

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ja das war allgemein.
Also in unserem Falle, für festes epsilon:
$\begin{eqnarray*} \exists n \in \mathbb N : \forall k>n: \left(\int_{\{x \in X~\vert~ |f(x)|\leq \frac{1}{k}\}} |f(x)|d\mu \right)<\epsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ist natürlich nicht gleich k, sondern $\begin{eqnarray*} \delta=n+1 \end{eqnarray*}$

Hoffe nun alles berücksichtigt zu haben Augenzwinkern

21.11.2014, 11:45

Guppi12

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Nein, auch $\begin{eqnarray*} \delta = n+1 \end{eqnarray*}$ ist nicht richtig. Kommt es dir nicht komisch vor, dass damit $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ im allgemeinen größer wird, wenn $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ kleiner wird?

21.11.2014, 12:03

panspeter

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$\begin{eqnarray*} \delta=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$

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