Kreisgleichung beweisen

19.11.2014, 17:51

winki2008

Kreisgleichung beweisen

Hallo, ich habe ein wenig zweifel bei diesem Beispiel:

Also es gilt:

$\begin{eqnarray*} x(t)=cos(t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t)=sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x(t)^2+y(t)^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(t)^2+sin(t)^2=1 \end{eqnarray*}$

"Satz des Pythagoras"

Die Definition auf der Angabe kommt mir kommisch vor, man könnte ja auch diese nehmen oder?

$\begin{eqnarray*} \sin t = {1 \over 2\mathrm{i}} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t} - \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos t = {1 \over 2} \left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}t} + \mathrm{e}^{-\mathrm{i}t} \right) \end{eqnarray*}$

und das jetzt einsetzen und lösen bis 1 rauskommt?

[attach]36131[/attach]

19.11.2014, 17:57

bijektion

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Zitat:

Die Definition auf der Angabe kommt mir kommisch vor, man könnte ja auch diese nehmen oder?

Ja.

Aufgabe 1 ist so schon klar, 2 folgt schnell mit der Darstellung.

20.11.2014, 13:24

winki2008

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okay, danke....war das Beispiel jetzt so zu bewältigen?

$\begin{eqnarray*} cos(t)^2=(\frac{1}{2} (e^{it}+e^{-it}))^2=\frac{1}{4}(e^{2it}+2+e^{-2it})= \end{eqnarray*}$

Bemerkung:
$\begin{eqnarray*} e^{it}=cos(t)+i \cdot sin(t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{4}(cos(2t)+i \cdot sin(2t)+2+cos(-2t)+i \cdot sin(-2t)) \end{eqnarray*}$

Dann stell ich mir den Einheitskreis vor:

$\begin{eqnarray*} cos(2t)+cos(-2t)=2\cdot cos(2t)<br /> <br /> sin(2t)+sin(-2t)=0 \end{eqnarray*}$

Bleibt also über:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} (2 \cdot cos(2t)+2)=\frac{1}{2} \cdot (cos(2t)+1) \end{eqnarray*}$

Analog für Sinus:

$\begin{eqnarray*} sin(t)^2=(\frac{1}{2i} (e^{it}-e^{-it}))^2=\frac{-1}{4}(e^{2it}-2+e^{-2it})=\frac{-1}{4}(cos(2t)+i \cdot sin(2t)-2+cos(-2t)+i \cdot sin(-2t))=\frac{-1}{4} (2 \cdot cos(2t)-2)=\frac{-1}{2} \cdot (cos(2t)-1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(t)^2+sin(t)^2=\frac{1}{2} \cdot (cos(2t)+1)+(\frac{-1}{2} \cdot (cos(2t)-1))=0,5+0,5=1 \end{eqnarray*}$ Wahre Aussage

Bei den Hyperbolischen Funktionen habe ich im endeffekt:

$\begin{eqnarray*} cosh(t)^2=\frac{1}{4} (e^{2t} + 2 +e^{-2t})<br /> sinh(t)^2=\frac{1}{4} (e^{2t} - 2 +e^{-2t}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cosh(t)^2-sinh(t)^2=\frac{2}{4}-\frac{-2}{4} =1 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

21.11.2014, 23:17

mYthos

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Die letzten 3 Zeilen (Aufgabe b) voll und ganz!

Der Teil a) ist zwar nicht falsch, aber reichlich kompliziert ausgeführt.
Warum denn so, wenn es auch einfach geht? Es gilt nun mal der trigonometrische Pythagoras, dieser ist ja ebenfalls am Einheitskreis leicht nachzuvollziehen.

mY+

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