Gleichung zahlentheoretischer Funktionen

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mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung zahlentheoretischer Funktionen
Meine Frage:
Ich soll folgende Gleichheit zeigen, dabei ist phi die Eulersche Phi-Funktion und mu die Möbiusfunktion.



Meine Ideen:
Man hat ja verschiedene Ansätze zur Auswahl, z.B. weiß man dass oder .

Leider komme ich mit beiden nicht wirklich weiter...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Je nach Vorwissen kann man den Beweis unterschiedlich schnell gestalten:

Wenn du z.B. schon von "Dirichlet-Faltung" bzw. "multiplikative Funktion" gehört hast, dann geht es sehr schnell. Augenzwinkern
 
 
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

beides ja - aber was falte ich denn hier?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit Identitätsfunktion , der Konstantfunktion sowie Dirichlet-Faltung * lautet die Behauptung



Da sowohl links als auch rechts jeweils multiplikative Funktionen stehen - rechts, weil die Dirichlet-Faltung multiplikativer Funktionen auch wieder multiplikativ ist - reicht der Nachweis der Behauptung für Primzahlpotenzen , d.h.



oder da die Teiler rechts ja klar bekannt sind:

.

Und der Nachweis dieser letzten Gleichung ist schon sehr überschaubar. Big Laugh
mathemensch123 Auf diesen Beitrag antworten »

oh Mann, vielen Dank. Ich kam einfach nicht auf die simple Idee, jeweils Zähler und Nenner als eine gemeinsame Funktion zu betrachten.....

Danke
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