Schwerpunkt Halbkreis Integration

19.11.2014, 21:12	MBxCuse	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwerpunkt Halbkreis Integration Meine Frage: Hallihallo liebes Matheboard, ich hab eine Frage zum oben genannten Problem. Die Aufgabe ist es den Schwerpunkt eines Halbkreises, der sich in einem Kartesischem Koordinatensystem befindet, zu berechnen. Der Mittelpunkt des 'gesamten' Kreises wäre hier der Ursprung. Als Radius des Kreises wird r angegeben. Der Schwerpunkt soll durch Integration berechnet werden. Meine Ideen: Wir haben ein Beispiel anhand eines Dreiecks gehabt und ich habe versucht die selbe Methode für den Halbkreis anzuwenden. Die Berechnung der x-Koordinate entfällt da sich der Schwerpunkt auf der y-Achse befinden muss. Als Funktionsgleichung des Halbkreises habe ich: $\begin{eqnarray} y = \sqrt{r^2-x^2} \end{eqnarray}$ Daraus habe ich dann folgendes entwickelt: $\begin{eqnarray} 1/A\int_r^r \! \int_0^y \! y \, dx \, dy \end{eqnarray}$ (Das y im Integral soll das y der Funktionsgleichung sein, kriege es mit Latex nicht rein sorry :/) $\begin{eqnarray} 1/A\int_r^r \! \frac{r^2-x^2}{2} \, dx = 1/A\frac{r^3-\frac{r^3}{3}} {2} - \frac{-r^3-\frac{-r^3}{3}} {2}= 1/A* \frac{2r^3}{2} = 1/Ar^3 = (1/pir^2/2) * r^3 = \frac{2r^3}{pir^2}=\frac{2r}{pi} \end{eqnarray}$ Das Ergebnis laut mehrerer Seiten des www sollte jedoch $\begin{eqnarray} \frac{4r}{3pi} \end{eqnarray}$ sein
19.11.2014, 23:20	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, da läuft aber einiges schief gerade. Nach der Formel für den Schwerpunkt musst du ja das folgende Integral berechnen: $\begin{eqnarray} \frac{1}{A}\int_K y d(x,y) \end{eqnarray}$ , wobei nun $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ die Menge ist, die die Kreisfläche darstellt. Hier wird aber jetzt überhaupt nichts für $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ eingesetzt. Das bleibt einfach so im Integral stehen. Du kannst jetzt entweder $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ in kartesischen Koordinaten darstellen (wofür du dann die Kreisformel bräuchtest) und losintegrieren oder eine Transformation zu Polarkoordinaten vornehmen (was ich empfehlen würde). Edit: Moment, jetzt wird mir gerade klar, was du eigentlich meinen könntest: Meinst du das Integral $\begin{eqnarray} \frac{1}{A}\int_{-r}^r\int_0^{\sqrt{r^2-x^2}}y dy dx \end{eqnarray}$ ? Das wäre tatsächlich noch richtig. In dem Fall hast du dich einfach verrechnet. Achte auf die Klammern, gleich das erste Gleichheitszeichen stimmt nicht. Mach am besten mal einen Schritt nach dem anderen (erst Stammfunktion bestimmen, dann einsetzen etc.) Dann verrechnest du dich auch nicht so leicht.
20.11.2014, 07:51	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{1}{A} \int_{-r}^r \! \int_0^{\sqrt{r^2-x^2}} \! y \, dx \, dy = \frac{1}{A} * \int_{-r}^r \frac{y^2}{2} \big \| _ 0 ^ {\sqrt{r^2-x^2}} \, dx = \frac{1}{A} * \int_{-r}^r \frac{r^2-x^2}{2} dx = \frac{1}{A} * (\frac{r^2x-x^3/3}{2} dx) \big \| _ {-r} ^ {r} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{1}{A} (\frac{r^3-r^3/3}{2} - \frac{-r^3- -r^3/3}{2}) = \frac{1}{A} * \frac{2r^3}{2} = \frac{r^3}{pir^2 /2} * \end{eqnarray*}$ Das war bzw ist meine gesamte Rechnung mit dem von mir falsch dargestelltem Integral, aber dem was du aufgeschrieben hattest. Ich sehe leider nicht wo ich den Fehler gemacht habe, ein Hinweis wäre nett Latex in zwei Zeilen aufgeteilt, um Überlänge zu vermeiden. - Guppi12
20.11.2014, 12:28	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Bis hierhin: $\begin{eqnarray} \frac{1}{A}\left(\frac{r^2x-\frac{x^3}{3}}{2}\right)\bigg\vert_{-r}^r \end{eqnarray}$ ist es noch richtig. Ab dann wird es falsch. Da hast du beim Einsetzen der unteren Grenze vergessen, dass Minus mal Minus zu Plus wird
20.11.2014, 12:49	IXI Cion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab es jetzt nochmal nachgerechnet und jetzt kommt das richtige raus. Ein kleiner Vorzeichenfehler und er hat mich so durcheinander gebracht.. Ein großes Danke an dich für deine Hilfe

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