Nachweis, dass eine Folge streng monoton wächst

20.11.2014, 11:16

Samyyy

Nachweis, dass eine Folge streng monoton wächst

Hallo,

ich möchte gerne Beweisen, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_k:= \sqrt{k+1}-\sqrt{k} \end{eqnarray*}$ eine streng monoton fallende Folge ist. Könnte bitte jemand kurz über meinen Beweis schauen, ob das so ok ist?:

$\begin{eqnarray*} a_{k+1}-a_k < 0 & \Leftrightarrow \sqrt{k+2}-\sqrt{k+1} - \sqrt{k+1} + \sqrt{k}<0 \Leftrightarrow \sqrt{k+2} + \sqrt{k}< 2\sqrt{k+1}\Leftrightarrow (k+2)+2\sqrt{k(k+2)} + k < 4 (k+1)\\<br /> &\Leftrightarrow \sqrt{k(k+2)} < (k+1) \Leftrightarrow k^2+2k< k^2+2k+1 \end{eqnarray*}$ .

Und die letzte Ungleichung ist doch richtig! q.e.d.

Ich bin mir unsicher, ob ich einfach so die Ungleichung quadrieren darf oder nicht.

Viele Grüße

20.11.2014, 12:56

Matt Eagle

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3. binomische Formel
Es wäre günstiger mit der Darstellung

$\begin{eqnarray*} a_k=\frac 1{\sqrt{k+1}+\sqrt{k}} \end{eqnarray*}$

anzusetzen.

20.11.2014, 16:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Samyyy
Ich bin mir unsicher, ob ich einfach so die Ungleichung quadrieren darf oder nicht.

Wenn auf beiden Seiten ganz sicher nichtnegative Werte stehen, dann ja - und das ist hier der Fall.
Insofern sind deine Ausführungen korrekt. Freude

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