Konvergenz reeller Zahlenfolgen

20.11.2014, 15:40

NothernLight

Konvergenz reeller Zahlenfolgen

Hallo zusammen, da dies mein erster Post ist ein freundliches "Hi" in die Runde smile

Ich habe gerade Schwierigkeiten mit folgenden Aufschrieben meines Profs:

$\begin{eqnarray*} (a_{n} )_{n\in \mathbb N }\rightarrow a :\Leftrightarrow \forall \epsilon \exists n_{0}\in \mathbb N \forall n\geq n_{0} : | a_{n}-a | < \epsilon \end{eqnarray*}$

Dann folgt das Archimedische Axiom, dass sagt $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R ~\exists~ n \in \mathbb N:n>x \end{eqnarray*}$

Jetzt die Gaussklammer, also Abrundungsfunktion
$\begin{eqnarray*} \left[x\right] :=~max \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb Z:n\leq x \end{eqnarray*}$ }

Soweit die Definitionen. Danach folgendes Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^{2}+1}{n^{3}-2} \end{eqnarray*}$

Beh: $\begin{eqnarray*} a_{n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$
Bew: Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig
$\begin{eqnarray*} \forall n\geq 2<br /> 0<\frac{n^{2}+1}{n^{3}-2}<\frac{n^{2}+n^{2}}{n^{3}-\frac{1}{2}n^{3}}=\frac {4} {n} < \epsilon \end{eqnarray*}$

fuer $\begin{eqnarray*} n \geq n_{0}:= \end{eqnarray*}$ max{ $\begin{eqnarray*} \left[ \frac {4}{ \epsilon}\right]+1,2 \end{eqnarray*}$ } $\begin{eqnarray*} \Rightarrow a_{n} \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$

Alles klar, uns interessiert wie sich die Folge für n gegen unendlich entwickelt, ab n größer gleich 2 kann ich die Formel vereinfachen, sodass ich auf einen ähnlichen Fall stoße wie bei $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .
Er definiert nun sein [latex] n_{0} [\latex] so wie man es mit ein bisschen umformen herausbekommt. Doch was macht diese 2 innerhalb der Klammer der Abrundungsfunktion?

20.11.2014, 16:23

kgV

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Weil mir nicht ganz klar ist, wo genau deine Schwierigkeit liegt, noch eine Nachfrage: du verstehst, nicht, was diese 2 bedeutet: $\begin{eqnarray*} max\{\left[\frac4{\varepsilon}\right]+1,{\color{red}2}\} \end{eqnarray*}$ .

Die kommt daher, dass die Umformungen, die er macht, um sein Epsilon zu bekommen, nur gelten, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ größer oder gleich 2 ist. (vgl dazu das $\begin{eqnarray*} \forall n\geq 2 \end{eqnarray*}$ am Anfang)

Wenn das nicht dein Problem war, einfach nochmal nachhaken smile

Lg
kgV

20.11.2014, 19:13

NothernLight

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Zitat:

Original von kgV
Weil mir nicht ganz klar ist, wo genau deine Schwierigkeit liegt, noch eine Nachfrage: du verstehst, nicht, was diese 2 bedeutet: $\begin{eqnarray*} max\{\left[\frac4{\varepsilon}\right]+1,{\color{red}2}\} \end{eqnarray*}$ .

Die kommt daher, dass die Umformungen, die er macht, um sein Epsilon zu bekommen, nur gelten, wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ größer oder gleich 2 ist. (vgl dazu das $\begin{eqnarray*} \forall n\geq 2 \end{eqnarray*}$ am Anfang)

Wenn das nicht dein Problem war, einfach nochmal nachhaken smile

Lg
kgV

Ja genau, wieso kann man das so schreiben? Also warum kann ich diese Vorraussetzung in die Abrundungsfunktion schreiben?

Grüße smile

21.11.2014, 09:44

kgV

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Das steht nicht in der Abrundungsfunktion smile

Die betrifft nur $\begin{eqnarray*} \frac 4{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ . Die 2 steht in der Klammer für das Maximum.

Es wird also jene Zahl aus $\begin{eqnarray*} \frac 4{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ausgewählt, die größer ist, weil nur dann ist die Konvergenzbedingung gültig, denn $\begin{eqnarray*} \frac{n^2+1}{n^3-2} \end{eqnarray*}$ ist genau dann kleiner als $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sowohl größer als $\begin{eqnarray*} \frac4{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ als auch als $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ ist (letzteres deswegen, weil die beim Umformen getroffenen Abschätzungen nur für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ gültig sind).

22.11.2014, 11:28

NothernLight

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Ach sooo ^^ Sorry auf Wiki bei Definition sieht die Abrundungsfunktion genauso aus, nur eben ohne zweite Zahl, was ja auch keinen Sinn macht.

Ok, gemeint ist aber das größte Element der Menge, in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ .

Danke vielmals Freude

22.11.2014, 11:48

kgV

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Gern geschehen smile

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