L-Messbarkeit von Abbildungen mit Vitalischer Menge

20.11.2014, 20:13

danooh

L-Messbarkeit von Abbildungen mit Vitalischer Menge

Meine Frage:
Guten Abend smile

Ich sitze derzeit an folgender Aufgabe:
Im Folgenden schreibe ich 'messbar' anstatt von Lebesgue-messbar

Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} \mathbb V \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine Vitalische Menge;
insb. ist $\begin{eqnarray*} \mathbb V \end{eqnarray*}$ also nicht messbar.
Untersuchen Sie die folgenden Abb. auf Messbarkeit:

( $\begin{eqnarray*} \chi_{M } \end{eqnarray*}$ bezeichnet die charakterische Funktion (Indikatorfunktion) von $\begin{eqnarray*} M) \end{eqnarray*}$

(a) $\begin{eqnarray*} f_{1}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, x \mapsto \chi_{\mathbb V}(x) - \chi_{\mathbb V^{c} }(x) \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} f_{2}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, x \mapsto \chi_{\mathbb V}(\lfloor x \rfloor) \end{eqnarray*}$

(c) $\begin{eqnarray*} f_{2}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R, x \mapsto (f_{1}(x))^{2}) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Laut Skript ist $\begin{eqnarray*} \chi_{M } \end{eqnarray*}$ genau dann messbar, wenn $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ messbar ist.
Und falls eine Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ messbar ist, ist auch $\begin{eqnarray*} M^{c} \end{eqnarray*}$ messbar. Damit folgt:

zu (a)
$\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb V} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb V^{c} } \end{eqnarray*}$ sind jeweils nicht messbar, ergo ist die Differenz auch nicht messbar.
Damit wäre $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ als Differenz nicht messbarer Fkt. nicht messbar, oder habe ich einen Fehler gemacht?

zu (b) habe ich noch keinen Ansatz da mit die Gaußklammer hier Probleme bereitet :/

bei der (c) würde ich ähnlich wie bei (a) argumentieren da:
$\begin{eqnarray*} (f_{1}(x))^{2})=(\chi_{\mathbb V}(x))^{2} - 2\chi_{\mathbb V}(x)\chi_{\mathbb V^{c} }(x)+(\chi_{\mathbb V^{c} }(x))^{2} \end{eqnarray*}$

Ich bin für jede Hilfe dankbar !!
Gruß
Daniel

21.11.2014, 05:36

danooh

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Ich habe das ganze nun auf einem anderen Weg gezeigt:

$\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ Es gilt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ messbar <=> $\begin{eqnarray*} \left\{x \in \mathbb R; f(x)\geq c\right\} \end{eqnarray*}$ ist messbar für alle $\begin{eqnarray*} c \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

(a)
Hier betrachte ich $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ und sehe schnell:

$\begin{eqnarray*} \left\{x \in \mathbb R; f(x)\geq 0\right\} \end{eqnarray*}$ ist gleich $\begin{eqnarray*} \left\{x \in \mathbb V\right\} \end{eqnarray*}$
Damit gilt $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ für ein $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ nicht und somit ist $\begin{eqnarray*} f_{1} \end{eqnarray*}$ nicht messbar.

Bei (b), (c) läuft es bei mir darauf hinaus, dass die Abbildungen messbar sind.

21.11.2014, 11:28

Guppi12

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Deine Ergebnisse sind richtig.

Bei (b) und (c) sind es übrigens ganz einfache Funktionen, die man da kompliziert aufgeschrieben hat. Weißt du, welche es sind?

21.11.2014, 13:35

danooh

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bei (b) weiß ich nicht wirklich welche 'einfache' Funktion gemeint sein soll.
(Die Gaußklammer bereitet mir in diesem Fall Probleme verwirrt

)

(c) ist die konstante 1-Funktion.

und danke Freude

21.11.2014, 16:17

Guppi12

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(c) ist richtig.

Zu (b) :

Naja, die Funktion ist doch lokal eine Treppenfunktion, denn sie kann immer nur den Wert ändern, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Ziffer vor dem Komma ändert.

21.11.2014, 19:11

danooh

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Natürlich ! geschockt

Vielen Dank smile

21.11.2014, 21:04

Guppi12

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Kurze Anmerkung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb V} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \chi_{\mathbb V^{c} } \end{eqnarray*}$ sind jeweils nicht messbar, ergo ist die Differenz auch nicht messbar.

Das ist natürlich nicht richtig. Weiß nicht, ob dir das inzwischen klar ist. Falls ja, ignoriere diesen Beitrag Augenzwinkern

21.11.2014, 21:58

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Guppi12

Zu (b) :

Naja, die Funktion ist doch lokal eine Treppenfunktion, denn sie kann immer nur den Wert ändern, wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ eine Ziffer vor dem Komma ändert.

$\begin{align*} \lfloor x\rfloor \end{align*}$ ist doch die Funktion, die einer reellen Zahl die größte ganze Zahl zuordnet, die nicht größer als x ist. Damit wird $\begin{align*} \chi_V(\lfloor x\rfloor) \end{align*}$ die Funktion, die entweder konstant 0 ist oder für die es ein Intervall $\begin{align*} [z,z+1),z\in\mathbb Z \end{align*}$ gibt, dessen Funktionswert konstant gleich 1 ist, ansonsten 0. Letzteres ist dann der Fall, wenn in der Vitali-Menge der Repräsentant für die rationalen Zahlen die ganze Zahl z ist.

21.11.2014, 22:42

Ungewiss

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Man könnte auch alternativ bei der b) damit argumentieren, dass zwei Funktionen, die fast überall gleich sind, entweder beide messbar oder nicht messbar sind.

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