Beweis: Kehrwert einer monoton fallenden Folge ist monoton steigend und umgekehrt

20.11.2014, 22:38	FranzOS	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Kehrwert einer monoton fallenden Folge ist monoton steigend und umgekehrt Hallo an alle ich mal wieder, ich sitze gerade seit ein paar Stunden vor einer Aufgabe für die ich nicht mal einen Ansatz finde und solangsam frage ich mich, stimmt die Aussage überhaupt ? Es gilt folgendes zu Zeigen: Der Kehrwert einer monton fallende folge ist monton steigen und umgkehrt 1) Also wenn $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ monton steigt dann $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{(a_{n})} \end{eqnarray}$ ist monton fallend. 2) Also wenn $\begin{eqnarray} (a_{n}) \end{eqnarray}$ monton fällt dann $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{(a_{n})} \end{eqnarray}$ ist monton steigend. 3) () Wenn $\begin{eqnarray} (a_{n}) ~ \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ gegen unendlich geht dann $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{1}{(a_{n})} ~ \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ Wie gesagt hab ich leider überhaupt gar keine Idee / Vorstellung wie das ganze laufen soll. Hab jetzt auch schon nach einiges gegoogelt aber leider ohne erfolg... Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen
20.11.2014, 22:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Irgendwie vermisse ich da eine wichtige Voraussetzung, die zumindest bei 1) und 2) erforderlich ist: Dass nämlich $\begin{align} (a_n) \end{align}$ eine Folge positiver (!) reeller Zahlen ist.
21.11.2014, 00:07	FranzOS	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut das verienfacht das ganze wäre dann folgende argumentation ausreichen: $\begin{eqnarray} <br /> a_{n} \geq a_{n+1} \\<br /> \frac{1}{a_{n}} \leq \frac{1}{a_{n+1}}<br /> \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> a_{n} \leq a_{n+1} \\<br /> \frac{1}{a_{n}} \geq \frac{1}{a_{n+1}}<br /> \end{eqnarray}$ Auf grund von $\begin{eqnarray} <br /> a \geq b \\<br /> b^{-1} \geq a^{-1}<br /> \end{eqnarray}$ Allerdings weiß ich mir bei der 3 gar nicht zu helfen...
21.11.2014, 08:52	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Was bedeutet es denn, wenn (a_n) gegen unendlich geht?
21.11.2014, 10:41	FranzOS	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wenn $\begin{eqnarray} (a_{n}) \rightarrow \infty ~ \Rightarrow a_{n} \geq 0 ~ \forall_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ Wenn ich da jetzt aber einfach den Kehrwert betrachte folgt ja $\begin{eqnarray} a_{n} \leq 0 ~ \forall_{n \in \mathbb{N}} \end{eqnarray}$ Das bringt mich ja nicht wirklich weiter oder ?
21.11.2014, 11:41	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ging es mehr um die Definition der uneigentlichen Konvergenz gegen unendlich.
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21.11.2014, 17:59	FranzOS	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay ... dir ist mir leider nicht bekannt ich kenne nur folgende Kriterien: Konvergenzkriterium: $\begin{eqnarray} <br /> \forall{\varepsilon >0} ~ \exists_{N \in \mathbb{N}} ~ \forall_{n \geq N} ~ \|a_{n} - C\| < \varepsilon<br /> \end{eqnarray}$ Oder das Cauchykonvergenzkriterium: $\begin{eqnarray} <br /> \forall{\varepsilon >0} ~ \exists_{N \in \mathbb{N}} ~ \forall_{n,m \geq N} ~ \|a_{n} - a_{m}\| < \varepsilon<br /> \end{eqnarray}$ Eine "uneigentliche" Definition der Konvergenz gegen unendlich haben wir nie behandelt....
24.11.2014, 09:13	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Kehrwert einer monoton fallenden Folge ist monoton steigend und umgekehrt Wenn ihr die Definition von $\begin{eqnarray} (a_{n}) ~ \rightarrow \infty \end{eqnarray}$ nicht hattet, dann kannst du auch die Aufgabe 3 nicht rechnen.

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