Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen

21.11.2014, 08:34

StudentinnenNeuling

Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen

Meine Frage:
Guten Morgen Matheboard.

a) Geben Sie die Menge aller Zahlenpaare $\begin{eqnarray*} (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ für die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} y = ln\left( |\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}| \right) \end{eqnarray*}$
sinnvoll definiert ist, an!

Lösen Sie für jede Vorgabe von y (falls möglich) nach x auf! Skizzieren Sie anschließend die Menge aller $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ für die die Gleichung erfüllt ist.

b) Geben Sie das größtmögliche Definitionsintervall $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 2 \in D \end{eqnarray*}$ und eine geeignete Zielmenge $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ an, sodass $\begin{eqnarray*} f : D \rightarrow W \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} f(x) := y = ln \left( |\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}| \right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} (x \in D) \end{eqnarray*}$ eine wohldefinierte, bijektive Abbildung beschreibt. Wie lautet die Funktionsvorschrift für $\begin{eqnarray*} f^{-1} : W \rightarrow D \end{eqnarray*}$ ?.

Meine Ideen:
Der Definitionsbereich muss doch $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein. Der Logarithmus nimmt keine negativen Werte an, aber da wird den Betrag haben erübrigt sich das Problem ja.

Auflösen nach x:
$\begin{eqnarray*} y = ln \left( |\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}| \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^y = |\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}| \end{eqnarray*}$

Muss ich jetzt quadrieren? Ich mach einfach mal:
$\begin{eqnarray*} e^{2y} = \left(|\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}|\right)^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt fehlt mir bisschen das Wissen vom Rechnen mit Beträgen, aber ich versuche mich mal:

$\begin{eqnarray*} \left(|\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}|\right) \cdot \left(|\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}|\right) \end{eqnarray*}$

Die Definitions des Betrages der Komplexen Zahlen darf ich hier leider nicht verwenden, aber irgendwas zum Quadrat ist doch positiv also kann ich den Betrag sorglos weglassen? Aber nur im Fall wenn x und y positiv sind? Wenn ich es ausmultipliziere dann muss es gelten ach herrje unglücklich

Ich scheitere immer an so Kleinigkeiten.

Danke schon mal,

Anja

21.11.2014, 09:10

Steffen Bühler

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen

Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
Der Definitionsbereich muss doch $\begin{eqnarray*} D = \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein.

Einspruch. Was ist mit x=1, x=0, x=-1?

Viele Grüße
Steffen

21.11.2014, 09:41

StudentinnenNeuling

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen
Ich bin ein Dummerchen... etliche solcher Aufgaben gemacht und ich vergesse sowas immer. Wie geht's denn bei der Auflösung nach x weiter?

Anja

21.11.2014, 09:45

Steffen Bühler

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen
Deine Überlegungen zum Betrag sind richtig, denn (a-b)²=(b-a)².

Der zweite Binom hilft nun weiter.

22.11.2014, 09:28

StudentinnenNeuling

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen
Ja nun gut aber wie bekomme ich den Betrag da weg ich darf ja nicht einfach mal so loslegen.

Liebe Grüße

Anja

22.11.2014, 10:42

Steffen Bühler

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen
Doch, darfst Du.

Das meinte ich ja mit meiner Anmerkung. Da die Differenz quadriert wird, ist es egal, ob sie positiv oder negativ ist.

Also kannst Du die Betragsstriche einfach weglassen.

22.11.2014, 11:10

StudentinnenNeuling

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen
Auflösen nach x 2.0:

$\begin{eqnarray*} e^{2y} = \left(|\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}|\right)^2 = \left(|\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}|\right) \cdot \left(|\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}|\right) = x+\frac1x -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2y} = x+\frac1x -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{2y} + 2 = x+\frac1x \end{eqnarray*}$

Mehr auflösen geht nicht ausklammern geht aber bringt nichts.

Anja

22.11.2014, 11:36

HAL 9000

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Zitat:

Original von StudentinnenNeuling
Mehr auflösen geht nicht

Etwas voreilig geurteilt. Augenzwinkern

Multiplikation mit $\begin{align*} x \end{align*}$ überführt das ganze in eine quadratische Gleichung bzgl. des gesuchten $\begin{align*} x \end{align*}$ .

22.11.2014, 11:51

StudentinnenNeuling

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen

Zitat:

Original von HAL 9000
Multiplikation mit $\begin{align*} x \end{align*}$ überführt das ganze in eine quadratische Gleichung bzgl. des gesuchten $\begin{align*} x \end{align*}$

Auf beiden Seiten multipliziert mit $\begin{align*} x \end{align*}$ ?

$\begin{eqnarray*} e^{2y} + 2 = x+\frac1x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \cdot (e^{2y} + 2) = x^2+1 \end{eqnarray*}$

Nun aber irgendwie komme ich nicht auf die richtige Fährte. Tut mir leid unglücklich

Anja

22.11.2014, 11:56

Steffen Bühler

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen
Alles nach links und pq-Formel.

Viele Grüße
Steffen

22.11.2014, 12:39

StudentinnenNeuling

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RE: Logarithmus auflösen, Definitionsbereich bestimmen
Gutes Auge Steffen Bühler! Freude

Danke!

$\begin{eqnarray*} x \cdot (e^{2y} + 2) = x^2+1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - x^2+x \cdot (e^{2y} + 2) -1= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x \cdot (e^{2y} + 2) +1= 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{e^{2y}+2}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{e^{2y}+2}{2}\right)^2-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{e^{2y}+2}{2} \pm \sqrt{\frac{e^{4y}+4e^{2y}+4}{4}-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{e^{2y}+2}{2} \pm \sqrt{\frac{e^{4y}+4e^{2y}}{4}} \end{eqnarray*}$

Jetzt kann man bestimmt im Zähler des Arguments irgendwie rumtrixen dass man ein Quadrat herauszaubert, aber kriege das nicht hin.

Komme nur auf: $\begin{eqnarray*} e^{4y}+4e^{2y} = (e^{2y})^2 + (2e^{y})^2 \end{eqnarray*}$

Aber ich kriege es nicht hin so eine geeignete Form zu bekommen, dass ich die Wurzel des Arguments eliminiere,

Anja

22.11.2014, 12:46

HAL 9000

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Du kriegst die Wurzel nicht weg, du kannst allenfalls noch $\begin{align*} e^{2y} \end{align*}$ im Radikanden ausklammern und geeignet aus der Wurzel ziehen - mehr nicht.

Ist doch auch keine Katastrophe, oder?

22.11.2014, 12:55

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von HAL 9000
Ist doch auch keine Katastrophe, oder?

Nein, natürlich nicht, dachte nur ich habe wieder etwas übersehen.

Dann muss ich jetzt noch die Skizze anfertigen verwirrt

Der Wertebereich ist doch $\begin{eqnarray*} \mathbb R_+ \end{eqnarray*}$ , nach dem Auflösen nach x, Wegen der e-Funktionen unter der Wurzel? Wir betrachten bei der b) ja nur den positiven Ast? Sonst habe ich keine bijektive Abbildung?

Wie ich das konkret angeben soll und wie die Funktionsvorschrift lautet weiß ich noch nicht.

Anja

22.11.2014, 13:20

Steffen Bühler

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Erst mal die Skizze für die ursprüngliche Funktion. Was darfst Du denn nun für x einsetzen?

Ansonsten hilft unser Plotter:

Edit: Funktionsterm korrigiert.

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