Gruppen - Was ist das neutrale Element?

21.11.2014, 09:30

Alex13

Gruppen - Was ist das neutrale Element?

Liebe Community,

ich versuche gerade zu verstehen, was eine Gruppe ist. Allerdings gibt es einen Punkt den ich nicht verstehe (und wo mich auch die Bücher nicht weiterbringen).

Konkret gesagt geht es um das neutrale Element einer Gruppe. Ich habe verstanden, dass das neutrale Element bei einer multiplikativen Verknüpfung das Einselement und bei einer additiven Verknüpfung das Nullelement ist.

Aber wie ist es am Beispiel der nachfolgenden Verknüpfungstabelle (siehe Anhang):
[attach]36151[/attach]

Falls ich das richtig verstanden habe sind die linksneutralen Elementen definiert durch (e ° a = a). Was für mich bedeutet, dass alle Elemente der ersten Zeile linksneutral sind.

Die rechtsneutralen Elemente hingegen sind definiert durch (a ° e = a). Was alle Elemente der ersten Spalte wären.

Damit sind die Elemente iota, tau, alpha und beta sowohl links- als auch rechtsneutral und damit neutrale Elemente.

Aber es kann ja nur ein neutrales Element geben, oder? In meinem Buch steht, dass im Falle von mehreren neutralen Elementen gilt: e = e´. Das verstehe ich nicht. Denn z.B. alpha ist doch nicht gleich beta.

Könntet ihr mir das ganze bitte in möglichst einfachen Worten erklären? Ich bin da noch ganz am Anfang und brauche noch viele erklärende Worte um die ganzen Formeln zu verstehen.

21.11.2014, 09:34

bijektion

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Zitat:

Damit sind die Elemente iota, tau, alpha und beta sowohl links- als auch rechtsneutral und damit neutrale Elemente.

Warum? Es ist nur $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ neutral, und zwar recht- und linksneutral, denn in Gruppen ist das äquivalent.
Wie kommst du darauf, das die ganzen Elemente neutral sind?

21.11.2014, 09:40

Alex13

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Weil iota ° tau = tau (e ° a = a) und
tau ° iota = tau (a ° e = a)

Daher meine Vermutung, dass u.a. tau neutral ist.

Vermutlich habe ich da allerdings ein paar wesentliche Dinge nicht verstanden und daher verstehe ich auch das neutrale Element nicht.

21.11.2014, 09:57

bijektion

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Gut, aber $\begin{eqnarray*} \tau\circ\tau =\iota \end{eqnarray*}$ . Das muss dann für alle Elemente gelten.

Nur $\begin{eqnarray*} \iota \end{eqnarray*}$ ist neutral, denn für alle $\begin{eqnarray*} x\in G \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x=\iota\circ x=x\circ\iota \end{eqnarray*}$ , das kannst du an der Tabelle auch ablesen.

21.11.2014, 11:08

Alex13

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Das heißt, iota ist das neutrale Element da für alle Verknüpfungen mit iota die Bedingung e ° a = a
und a ° e = a erfüllt ist.

Bei allen anderen Elementen (z.B. tau) ist nicht für alle Verknüpfungen die o.g. Bedingung erfüllt.

Das heißt, damit ein Element z.B. rechtsneutral ist müsste die Bedingung a ° e = a für alle Verknüpfungen mit diesem Element erfüllt sein.

Ist das, auch wenn es nicht sehr mathematisch ausgedrückt ist, so korrekt?

21.11.2014, 11:17

bijektion

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Ja, und wenn du eine Gruppe hast ist rechts- und linksinvers äquivalent.

21.11.2014, 11:22

Alex13

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Ich glaube verstanden zu haben wie das neutrale bzw. links- und rechtsneutrale Element zu finden ist.

Vielen Dank für deine Hilfe.

21.11.2014, 14:02

RavenOnJ

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RE: Gruppen - Was ist das neutrale Element?

Zitat:

Original von Alex13

Aber wie ist es am Beispiel der nachfolgenden Verknüpfungstabelle (siehe Anhang):
[attach]36151[/attach]

Dein Beispiel ist keine mögliche Verknüpfungstabelle einer Gruppe. da es Zeilen gibt, in denen ein Element mehrfach vorkommt. In einer Verknüpfungstabelle für eine Gruppe darf (und muss!) jedes Element genau einmal vorkommen.

21.11.2014, 14:40

Alex13

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Also darf es weder eine Zeile noch eine Spalte geben in welcher ein Element doppelt vorkommt?

21.11.2014, 14:44

RavenOnJ

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korrekt. Wie im sudoku. Augenzwinkern