Konvergenz oder Divergenz einer Reihe

21.11.2014, 14:27

Bobby16

Konvergenz oder Divergenz einer Reihe

Meine Frage:
Untersuche die folgende Reihe auf Konvergenz oder Divergenz:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{a^n}{n^\alpha } \end{eqnarray*}$

Anmerkunt:
$\begin{eqnarray*} a>0 <br /> <br /> \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe zuerst versucht, es mit den Wurzelkriterium zu lösen, komme aber auf kein Ergebnis.
Dann habe ich mir gedacht, ich könnte es mit den Cauchyschen Verdichtungskriterium lösen, habe da aber im Internet gelesen, dass das mit Alpha positiv funktioniert. Hier steht aber, dass Alpha in den reellen Zahlen sein muss.
Vielleicht kann mir jemand helfen?

21.11.2014, 21:50

Guppi12

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Guten Abend und herzlich Willkommen im Forum smile

Warum kommst du mit dem Wurzelkriterium nicht weiter? Zumindest für fast alle Werte von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ solltest du damit eine Lösung bekommen. Schreib doch mal auf, was du dazu gemacht hast Augenzwinkern

22.11.2014, 08:21

Bobby16

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ok also ich habe es so mit dem Wurzelkriterium versucht:

zuerst habe ich a herausgezogen:
$\begin{eqnarray*} a* ^n\sqrt{|\frac{1}{n^\alpha } |} \end{eqnarray*}$

dann dachte ich mir, dass ich den limes davon berechnen muss.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty }a*^n\sqrt{|\frac{1}{n^\alpha } |} \end{eqnarray*}$

ich glaube, a ist ja eine fixe variable , also ändert sich ja nur was beim n?

jetzt komm ich nciht weiter, denn jetz hab ich noch n^ alpha hier stehen. wenn alpha größer als 0 ist, dann geht es ja gegen unendlich, aber was ist wenn alpha negativ ist? wie kann ich da auf konvergenz/ divergenz schließen

22.11.2014, 12:26

Guppi12

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Du könntest jetzt zum Beispiel weiter schließen, indem du $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{\frac{1}{n^\alpha}} = (\sqrt[n]{n})^{-\alpha} \end{eqnarray*}$ ausnutzt. Fällt dir dazu etwas ein?

22.11.2014, 13:07

Bobby16

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naja das einzige was mir dazu einfällt ist, dass ich das auch als 1/n-te wurzel aus n hoch alpha schreiben kann, aber warum kann ich das alpha aus der Klammer rausnehmen.?

wenn das so ist, geht die Folge davon ja gegen 0 oder?

22.11.2014, 13:18

Guppi12

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Zitat:

aber warum kann ich das alpha aus der Klammer rausnehmen.?

Das sind Potenzgesetze, die aus der Schule bekannt sein sollten. Wenn nicht, solltest du sie nachholen Augenzwinkern

Zitat:

wenn das so ist, geht die Folge davon ja gegen 0 oder?

Habt ihr den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ nicht behandelt?

22.11.2014, 14:17

Bobby16

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ok also wenn die n-te wurzel aus n gegen 1 strebt, dann kann ich sagen dass die ganze Folge den Grenzwert a hat? aber dann weis ich ja immer noch nicht ob die folge konvergiert oder divergiert?

22.11.2014, 14:19

Guppi12

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Zitat:

aber dann weis ich ja immer noch nicht ob die folge konvergiert oder divergiert?

Warum nicht? Was sagt denn das Wurzelkriterium aus?

22.11.2014, 14:39

Bobby16

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ja ich weis ja nicht ob a größer oder kleiner als 1 ist Big Laugh