Fouriertransformation von cos^2(x) ergibt immer 0

21.11.2014, 14:29

Hjw

Fouriertransformation von cos^2(x) ergibt immer 0

Guten Tag,

ich versuche mich erstmals an einer Fourier Transformation:

Ziel ist folgendes Ergebnis: Fourier-Transformation von $\begin{eqnarray*} \cos^2(x) = \frac{1}{2} * (1+\cos(2x)) \end{eqnarray*}$

Hinweis: Bis zur 2. Ordnung sind die Terme nicht verschwindend.

Problem: Für $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_{n} \end{eqnarray*}$ erhalte ich immer 0.

Meine Ansätze/Rechnung bisher: Umwandlung von $\begin{eqnarray*} f(x)= \cos^2(x) = (\frac{1}{2} *(e^{ix} *e^{-ix})^2 =\frac{1}{4} *(e^{2ix}+2+e^{-2ix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{0}=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}\! 1/4 *(e^{2ix}+2+e^{-2ix}) \, dx = \frac {1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{1}=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}\! \frac{1}{4} *(e^{2ix}+2+e^{-2ix})*(e^{ix}+e^{-ix}) \, dx =\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{4} *(e^{2ix}+2(e^{ix}+e^{-ix}) +e^{-2ix}) \, dx=\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{4} *2(e^{ix}+e^{-ix}) \, dx=\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{4}*2*cos(x) \, dx=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_{1}=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}\! \frac{1}{4} *(e^{2ix}+2+e^{-2ix})*(e^{ix}-e^{-ix}) \, dx =\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{4} *(e^{2ix}+2(e^{ix}-e^{-ix}) -e^{-2ix}) \, dx=\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{4} *2(e^{ix}+e^{-ix}) \, dx=\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{4}*2*sin(x) \, dx=0 \end{eqnarray*}$

Diese Ergebnisse halte ich für durchaus sinnvoll bezogen auf die obenstehende Lösung, da in dieser ja auch nur ein n-term von Kosinus auftaucht, muss ja auch ein $\begin{eqnarray*} a_{n} \neq 0 \end{eqnarray*}$ existieren. Diese Rechnung ergibt allerdings:

$\begin{eqnarray*} a_{2}= \int_0^{2pi} \! f(x)*\cos(2x) \, dx \end{eqnarray*}$

Mit: $\begin{eqnarray*} \cos(2x) = \frac {1}{2}*(e^{2ix}+e^{-2ix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{2}=\frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}\! \frac{1}{8} *(e^{2ix}+2+e^{-2ix})*(e^{2ix}+e^{-2ix}) \, dx =\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{8} *(2(e^{2ix}+e^{-2ix})) \, dx=\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{2}*cos(2x) \, dx=0 \end{eqnarray*}$

Dieser Koeffizient dürfte nicht Null sein, daher muss hier ein Fehler vorliegen.

Liebe Grüße und vielen Dank bereits im voraus! smile

21.11.2014, 14:33

Hjw

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RE: Fouriertransformation von cos^2(x) ergibt immer 0
Nachtrag:

Vereinfachungen in den Integralen: $\begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi} \! e^{\pm inx} \, dx = 0 \end{eqnarray*}$

Entsprechend der Möglichkeit das Integrall über die einzelnen Summanden zu ziehen, ergeben die entsprechenden Summanden jeweils 0.

21.11.2014, 14:43

Steffen Bühler

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RE: Fouriertransformation von cos^2(x) ergibt immer 0

Zitat:

Original von Hjw
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi}\! \frac{1}{8} *(e^{2ix}+2+e^{-2ix})*(e^{2ix}+e^{-2ix}) \, dx =\frac{1}{\pi}* \int_0^{2\pi}\! \frac {1}{8} *(2(e^{2ix}+e^{-2ix})) \, dx \end{eqnarray*}$

Was ist da passiert? Wie kommst Du von $\begin{align*} (e^{2ix}+2+e^{-2ix}) \cdot (e^{2ix}+e^{-2ix}) \end{align*}$ auf $\begin{align*} 2(e^{2ix}+e^{-2ix}) \end{align*}$ ?

Viele Grüße
Steffen

21.11.2014, 14:53

Hjw

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RE: Fouriertransformation von cos^2(x) ergibt immer 0

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Was ist da passiert? Wie kommst Du von $\begin{align*} (e^{2ix}+2+e^{-2ix}) \cdot (e^{2ix}+e^{-2ix}) \end{align*}$ auf $\begin{align*} 2(e^{2ix}+e^{-2ix}) \end{align*}$ ?

Viele Grüße
Steffen

Ich habe den Fehler gefunden, danke! Vergessen den jeweils zweiten Summanden mit dem Summanden im ersten Term zu multiplizieren...

Dementsprechend blieb unter dem Integral der Term "2" übrig", somit das Ergebnis: 1/2 nach der Integration. Dies kann ich entsprechend in die Definition einsetzen und müsste auf das Ergebnis kommen.

Vielen Dank!

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