Allgemeine Herleitung einer Basis

21.11.2014, 15:29	clyde	Auf diesen Beitrag antworten »
Allgemeine Herleitung einer Basis Hallo, irgendwie steige ich da einfach nicht hinter... Gegeben ist: Es sei $\begin{eqnarray} (w_{1},w_{2},w_{3}) \end{eqnarray}$ eine Basis eines K-Vektorraums V. Untersuchen Sie, ob auch (1) das System $\begin{eqnarray} (w_{1},w_{1}-w_{2},w_{1}+w_{2}+w_{3}) \end{eqnarray}$ eine Basis von V ist, (2) das System $\begin{eqnarray} (w_{1}+w_{2},w_{2}+w_{3},w_{3}-w_{1}) \end{eqnarray}$ eine Basis von V ist. Bestimmen Sie in jedem Fall die Dimension des Spanns dieses Systems. Also mein Ansatz ist folgender... Eine Basis hat die Eigenschaft, ein (i) Erzeugendensystem zu sein und (ii) die lineare Unabhängigkeit zu erfüllen. Daher müsste ich ja zunächst folgendes machen für (1): Sei w ein weiterer Vektor in V und e der Nullvektor. (i) $\begin{eqnarray} \lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}(w_{1}-w_{2})+\lambda_{3}(w_{1}+w_{2}+w_{3})=w \end{eqnarray}$ (ii) $\begin{eqnarray} \lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}(w_{1}-w_{2})+\lambda_{3}(w_{1}+w_{2}+w_{3})=e \end{eqnarray}$ Nur mich haut das voll raus dass das so allgemein ist, habe keine Ahnung wie ich weiter vorgehen soll. Hoffe jemand kann mir mal nen Anstoß geben, danke
21.11.2014, 17:20	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Herleitung einer Basis Du musst einfach nur die zweite Gleichung umsortieren und ausnutzen, dass $\begin{eqnarray} (w_{1},w_{2},w_{3}) \end{eqnarray}$ eine Basis ist.
23.11.2014, 12:51	clyde	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich steh noch immer auf dem Schlauch bezüglich dieser Aufgabe... habe jetzt allerlei Umformungen an der zweiten Gleichung vorgenommen um irgendwie zu "finden", was du mit ausnutzen von der Basis meinst. Wo ist denn da der Knackpunkt? :-/ Bzw. welche Gesetze oder Eigenschaften muss ich mir zu Nutze machen?
23.11.2014, 21:28	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Allgemeine Herleitung einer Basis Die Umformung brauchst Du für die lineare Unabhängigkeit: $\begin{align} 0=\lambda_{1}w_{1}+\lambda_{2}(w_{1}-w_{2})+\lambda_{3}(w_{1}+w_{2}+w_{3})=(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)w_1+(-\lambda_2+\lambda_3)w_2+\lambda_3w_3 \end{align}$ Da $\begin{align} (w_1,w_2,w_3) \end{align}$ eine Basis bildet, lässt sich etwas über die Werte der Klammer-Terme aussagen, woraus sich die $\begin{align} \lambda_i \end{align}$ ergeben. Für das Erzeugendensystem benötigst Du den Dimensionsbegriff. Eine alternative Herangehensweise wäre die Betrachtung der Abbildung b, die der Basis $\begin{align} (w_1,w_2,w_3) \end{align}$ die gegebenen Bilder der Aufgabe zuordnet. Sie ist linear und es lässt sich eine Aussage über ihre Umkehrbarkeit treffen. Versuche aber erst einmal den Weg über die Gleichungen zu gehen, bevor Du Dich an dieser Alternative versuchst.

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