Beweis Rn(x) Untervektorraum von R(x)

21.11.2014, 17:54

Shinobi.Master

Beweis Rn(x) Untervektorraum von R(x)

Hallo Mathemeister,

ich habe ein Problem mit folgenden Beweis:

"Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ der Vektorraum (bzgl. der üblichen Addition und skalaren Multiplikation) aller reellen Polynome in der Variable x.
Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n}[x] \end{eqnarray*}$ die Menge der reellen Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ n (für $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N_{0} \end{eqnarray*}$ ).

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n}[x] \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ ist."

Ich verstehe zwar, dass jeder Grad von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n}[x] \end{eqnarray*}$ immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ enthalten sein muss und damit ein Untervektorraum ist, aber ich weiß nicht wie man das beweisen soll.

Jemand eine Idee?

21.11.2014, 18:06

Iorek

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RE: Beweis Rn(x) Untervektorraum von R(x)

Zitat:

Original von Shinobi.Master
Ich verstehe zwar, dass jeder Grad von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n}[x] \end{eqnarray*}$ immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ enthalten sein muss und damit ein Untervektorraum ist, aber ich weiß nicht wie man das beweisen soll.

Damit ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ lediglich eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ und noch kein (Unter-)Vektorraum.

Prüfe, ob die Unterraumkriterien erfüllt sind.

21.11.2014, 18:12

Shinobi.Master

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Die Unterraumkriterien sind:

- $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ist eine nichtleere Teilmenge
- $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n1}[x] + \mathbb R_{n2}[x] \in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n}[x] \cdot k \in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$

Diese Kriterien muss ich prüfen und wie mache ich das?

21.11.2014, 18:19

Iorek

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
- $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n1}[x] + \mathbb R_{n2}[x] \in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$
- $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{n}[x] \cdot k \in \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$

Das ist falsch, so lauten die zu prüfenden Kriterien nicht.

Allgemein: ist $\begin{eqnarray*} \mathcal V \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum über einem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \mathcal U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathcal V \end{eqnarray*}$ wenn gilt:

$\begin{eqnarray*} \mathcal U\neq\emptyset \end{eqnarray*}$
Für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v+w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$
Für alle $\begin{eqnarray*} v\in\mathcal U,a\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\cdot v\in\mathcal U \end{eqnarray*}$

Warum ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ nicht-leer? Kannst du das begründen? Danach nimm dir doch einmal zwei Elemente $\begin{eqnarray*} v,w \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ und addiere sie. Was erhältst du? Ist das ein Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2014, 19:18

Shinobi.Master

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Okay, also $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ nicht-leer, weil eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ nicht die leere Menge enthalten darf.

$\begin{eqnarray*} v + w = (v,w) \end{eqnarray*}$ und das ist ein Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$

So richtig?

21.11.2014, 19:21

Iorek

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Da stimmt leider gar nichts. unglücklich

Zitat:

Original von Shinobi.Master
Okay, also $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ nicht-leer, weil eine Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ nicht die leere Menge enthalten darf.

Diese Begründung ist quatsch. Wir wollen nicht zeigen, dass irgendeine Teilmenge die leere Menge enthält, sondern dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ selber nicht die leere Menge ist. Sprich: gibt es überhaupt ein Element in dieser Menge?

Zitat:

Original von Shinobi.Master
$\begin{eqnarray*} v + w = (v,w) \end{eqnarray*}$ und das ist ein Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht, wie du auf diese Verknüpfung von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ kommst...wie sieht ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ denn aus?

21.11.2014, 19:27

Shinobi.Master

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In $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ muss mindestens ein Element existieren, ansonsten wäre es doch eine leere Menge.

So würde ein Element doch aussehen, wenn es ein Vektor wäre $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \in \mathbb R_{n}[x] \end{eqnarray*}$

21.11.2014, 19:31

Iorek

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Ja, aber existiert denn so ein Element? Falls ja, so gib dieses Element an!

Ansonsten könnte man das für viele Mengen behaupten; in $\begin{eqnarray*} \{x\in\mathbb R~|~x^2+1=0\} \end{eqnarray*}$ muss mindestens ein Element existieren, da es sonst eine leere Menge wäre und ich das nicht haben will.

Und warum sollte $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ein Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ sein? Worum handelt es sich anschaulich bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ? Wie sehen die Elemente also aus?

21.11.2014, 19:38

Shinobi.Master

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Eine einfache Zahl kann es ja nicht sein. Es muss irgendeine Variable sein und ist im Bereich der reellen Zahlen, also von $\begin{eqnarray*} -\infty bis \infty \end{eqnarray*}$ ist für x alles dabei.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ soll ein Funktion von x im Bereich der reellen Zahlen sein? Quasi $\begin{eqnarray*} f(x)=x+2 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2014, 20:00

Iorek

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Ok...schlag doch bitte zunächst einmal nach, wie $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ genau definiert ist. Aussagen wie "eine Funktion im Bereich der reellen Zahlen" bringen dich nämlich nicht weiter. Es muss auch nicht irgendeine Variable sein, was für Elemente enthalten sind, ist ganz klar definiert. Diese Definition brauchst du.

21.11.2014, 20:08

Shinobi.Master

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Wikipedia "Vektorraum -> Polynomräume:

"Die Menge K[X] der Polynome mit Koeffizienten aus einem Körper K bildet, mit der üblichen Addition und der üblichen Multiplikation mit einem Körperelement, einen unendlichdimensionalen Vektorraum. Die Menge der Monome $\begin{eqnarray*} \{1,\ x,\ x^2,\ x^3,\ x^4, \dots \} \end{eqnarray*}$ ist eine Basis dieses Vektorraums. Die Menge der Polynome, deren Grad durch ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ nach oben beschränkt ist, bildet einen Untervektorraum der Dimension n+1. Beispielsweise bildet die Menge aller Polynome vom Grad kleiner gleich 4, also aller Polynome der Form

$\begin{eqnarray*} ax^4 + b x^3 + c x^2 + d x + e \end{eqnarray*}$ ,

einen 5-dimensionalen Vektorraum mit der Basis $\begin{eqnarray*} \{1,\ x,\ x^2,\ x^3,\ x^4\} \end{eqnarray*}$ .

Bei unendlichen Körpern K kann man die (abstrakten) Polynome mit den zugehörigen Polynomfunktionen identifizieren. Bei dieser Betrachtungsweise entsprechen die Polynomräume Unterräumen des Raums aller Funktionen von K nach K. Zum Beispiel entspricht der Raum aller reellen Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \le \end{eqnarray*}$ 1 dem Raum der linearen Funktionen."

Heißt das jetzt in meinem Fall, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ die Menge der Polynome ist mit Koeffizienten aus dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und das meine Elemente die Menge der Monome sind?

21.11.2014, 20:12

Iorek

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Ja, $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Menge der Polynome mit Koeffizienten aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Warum deine Elemente jetzt aber auf einmal nur die Monome umfassen sollte, ist mir schleierhaft. Deine Elemente sind Polynome.

Wie sieht es jetzt mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ aus, was ist das für eine Menge? Welche Elemente sind hier enthalten? Und um dann endlich zur Aufgabe zurückzukommen: kannst du ein Element angeben, welches immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ liegt?

21.11.2014, 20:16

Shinobi.Master

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ist dann nur eine n-te Anzahl an Polynomen, d.h. es sind nur n-Elemente enthalten.

Ein Element das immer in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ liegt... $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2014, 20:21

Iorek

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
$\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ist dann nur eine n-te Anzahl an Polynomen, d.h. es sind nur n-Elemente enthalten.

Warum sollten denn nur n Elemente vorhanden sein? geschockt

$\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ beschreibt die Menge der Polynome, die höchstens den Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ haben, d.h. in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_3[x] \end{eqnarray*}$ sind alle Polynome vom Grad 3 oder kleiner enthalten, in $\begin{eqnarray*} \mathbb R_7[x] \end{eqnarray*}$ die vom Grad 7 oder kleiner etc.

Aber: es gilt stets $\begin{eqnarray*} x^n\in\mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ , also haben wir damit den ersten Schritt zum Nachweis gemacht (welchen?).

Wie lässt sich jetzt allgemein ein Polynom vom Grad n aufschreiben?

21.11.2014, 20:28

Shinobi.Master

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Also da wir beweisen sollen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ ist heißt das analog zu den Polynomen auch $\begin{eqnarray*} x^n \subseteq x \end{eqnarray*}$ sein muss.

Polynom vom Grad n: $\begin{eqnarray*} \{x^n\in\mathbb R_n[x]~|~x^n+x^{n+1}+...+x^{n+m}=0\} \end{eqnarray*}$ ?

21.11.2014, 20:34

Iorek

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Was soll denn bitte $\begin{eqnarray*} x^n\subseteq x \end{eqnarray*}$ bedeuten? Und wieso lässt sich ein Polynom als Menge darstellen? unglücklich

Ganz simpel gefragt: woraus besteht ein Polynom? Wie lässt es sich (möglichst kompakt) aufschreiben?

21.11.2014, 20:38

Shinobi.Master

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Ein Polynom besteht aus einer Summe von vielfachen von Potenzen. Also ist für diesen Fall das hier die kompakteste wahl:

$\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] = \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$ oder?

21.11.2014, 20:43

Iorek

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Das $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ hat hier nichts zu suchen, aber ja, das ist eine kompakte Darstellung eines Polynoms.

Die Elemente dieser Menge und unseres potentiellen Vektorraums sind also Polynome. Nimm dir jetzt mal zwei Elemente der Menge, wie sehen diese aus? Wie würde man die Summe bilden? Wie lässt sich das schreiben?

21.11.2014, 20:48

Shinobi.Master

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Also aussehen:
$\begin{eqnarray*} v = a_1x^1, w = a_2x^2 \end{eqnarray*}$

Diese dann summieren:
$\begin{eqnarray*} v + w = a_1x^1 + a_2x^2 \end{eqnarray*}$

Kompakt schreiben als:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^2 a_k x^k \end{eqnarray*}$

21.11.2014, 20:55

Iorek

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Nein, das sind keine allgemeinen Polynomg aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ . Du hast eben die allgemeine Form eines Polynoms vom Grad n angegeben. Außerdem darfst du gerne länger als 5 Minuten an einem Schritt überlegen. Beschäftige dich intensiver mit den gegebenen Mengen und Elementen, bastel dir auch mal ein paar konkrete Beispiele.

21.11.2014, 21:08

Shinobi.Master

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Damit ich jetzt nochmal richtig zusammenfasse:

1) allg. Form eines Polynoms: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k \end{eqnarray*}$

2) Es gilt: $\begin{eqnarray*} x^n\in\mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$

3) Damit $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ ist müssen die 3 Axiome für UVR gelten, die da wären:

I : $\begin{eqnarray*} \mathcal U\neq\emptyset \end{eqnarray*}$
II : Für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v+w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$
III: Für alle $\begin{eqnarray*} v\in\mathcal U,a\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\cdot v\in\mathcal U \end{eqnarray*}$

Die derzeitige Frage ist nun:
Wie sehen die zwei Elemente $\begin{eqnarray*} (v, w) \end{eqnarray*}$ der Menge aus, wie bildet man die Summe und wie lässt sich das dann kompakt schreiben?

Antwort: verwirrt

Der Beweis ist sicherlich schnell von der Hand geschrieben, wenn man weiß wie, stimmts? Beträgt vermutlich nur 5 Zeilen...

21.11.2014, 21:17

Iorek

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Ja, es ist wirklich nicht viel hier zu machen. Du müsstest dich nur einmal konzentriert dransetzen und nicht beim ersten Problem direkt aufhören. unglücklich

Seien $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} v=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k,w=\sum\limits_{k=0}^n b_kx^k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k,b_k\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\{1,\dots,n\} \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir nun zwei Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , also zwei Elemente unserer Menge genommen. Du musst jetzt zeigen, dass die Summe $\begin{eqnarray*} v+w \end{eqnarray*}$ ebenfalls ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ ist. (Danach kommt noch ein weiterer Schritt, um das für beliebige Polynome vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ zu zeigen, aber zunächst einmal solltest du das nun nachweisen können). Ebenso solltest du nachweisen, dass für $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} a\cdot v \end{eqnarray*}$ ein Polynom vom Grad $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ ist.

21.11.2014, 21:33

Shinobi.Master

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Ja Bewesie sind nicht mein Gebiet...

Also nun ist dann die Summe aber:

$\begin{eqnarray*} v+w \in \mathbb R^2_n[x] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v + w = \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k + \sum\limits_{k=0}^n b_k x^k \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_k,b_k\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\{1,\dots,n\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(x) = \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k \leq n \end{eqnarray*}$

Für die Multiplikation:

$\begin{eqnarray*} a \cdot v = a \cdot \sum\limits_{k=0}^n a_k x^k \leq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ ist ein Unterraumvektor von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ .

Jetzt hab ich es raus. Das war's doch dann mit dem Beweis oder?

21.11.2014, 21:52

Iorek

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Nein, damit hast du leider nichts bewiesen. Was soll $\begin{eqnarray*} v+w\leq n \end{eqnarray*}$ bedeuten? Wo kommt auf einmal dein $\begin{eqnarray*} P(x) \end{eqnarray*}$ her? Und $\begin{eqnarray*} a\cdot v\leq n \end{eqnarray*}$ ergibt auch keinen Sinn!

Ihr hab doch bestimmt Beispiele in der Vorlesung zum Nachweis der Unterraumkriterium gehabt, sieh dir diese noch einmal an. Dann schlag auch noch einmal genau nach, was der Raum der Polynome ist, was ein Polynom ist, was der Grad eines Polynoms ist, was für Aussagen ihr zu Polynomen schon hattet...dir scheint da einiges an Grundwissen zu fehlen.

21.11.2014, 22:20

Shinobi.Master

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Also in meinen Aufzeichnungen finde ich folgendes zu Polynomen bisher:

Quadratische Polynome
$\begin{eqnarray*} P_2 = \end{eqnarray*}$ {Menge der Polynome $\begin{eqnarray*} : p(x)= a_0 + b_0 + (a_1+b_1)x + (a_2+b_2)x^2 \end{eqnarray*}$ }

Polynome vom Grad d
$\begin{eqnarray*} P_d = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} p(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_dx^d, a_i \in \mathbb R, i = 1...d \end{eqnarray*}$ }

Die 3 Axiome eines UVR
I : $\begin{eqnarray*} \mathcal U\neq\emptyset \end{eqnarray*}$
II : Für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v+w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$
III: Für alle $\begin{eqnarray*} v\in\mathcal U,a\in\mathbb K \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} a\cdot v\in\mathcal U \end{eqnarray*}$

2 Beispiele für UVR
I: { $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2) \in \mathbb R^2, x_i \geq 0, i = 1,2 \end{eqnarray*}$ } | $\begin{eqnarray*} V = \mathbb R^2, K = \mathbb R \end{eqnarray*}$
ist kein UVR

II: Sei $\begin{eqnarray*} u_1, u_2 \end{eqnarray*}$ Unterraum von V. Dann gilt:
(i) $\begin{eqnarray*} u_1\cap u_2 \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls Teilvektorraum und
(ii) $\begin{eqnarray*} u_1\cup u_2 \end{eqnarray*}$ ist im allg. kein UVR

Das war alles zu Polynomen und UVR.

Und ja ich denke auch das mir da einiges an Grundwissen fehlt, um die Übungsaufgaben, die wir wöchentlich bekommen zu bearbeiten. Hammer

21.11.2014, 22:37

Iorek

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Und ja ich denke auch das mir da einiges an Grundwissen fehlt, um die Übungsaufgaben, die wir wöchentlich bekommen zu bearbeiten. Hammer

Dann solltest du das schnellstmöglich ändern. Dieses Grundwissen wird dich dein gesamtes Studium über begleiten.

Bevor du dich weiter am Nachweis des Unterraums versuchst, solltest du zumindest die grundlegenden Definitionen nacharbeiten und dich damit auseinandersetzen. Als Erweiterung könntest du dich mit dem Grad eines Polynoms beschäftigen und als Einstiegsaufgabe dir über folgendes Gedanken machen: Seien $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q(x)=\sum\limits_{k=0}^m b_kx^k \end{eqnarray*}$ zwei Polynome. Dann ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p)=n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(q)=m \end{eqnarray*}$ . Kannst du dann eine Aussage über $\begin{eqnarray*} p(x)+q(x) \end{eqnarray*}$ machen (und diese auch beweisen)?

Diese Aussage brächtest du im weiteren Verlauf für den Nachweis des Untervektorraums sowieso.

21.11.2014, 22:56

Shinobi.Master

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Das müsste doch so gehen:

Sei $\begin{eqnarray*} p, q \in P_d \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P_d = \end{eqnarray*}$ { $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum\limits_{i=0}^d a_ix^i, a_i \in \mathbb R, i = 1...d \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} (p+q)(x) = p(x) + q(x) \end{eqnarray*}$ , d.h. für $\begin{eqnarray*} q(x)=\sum\limits_{i=0}^d b_ix^i, b_i \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow (p+q)(x) = \sum\limits_{i=0}^d a_ix^i + \sum\limits_{i=0}^d b_ix^i = (a_0+b_0)+(a_1+b_1)x+...+(a_d+b_d)x^d \end{eqnarray*}$

Wir fügen ein $\begin{eqnarray*} k \in K = \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (k\cdot p)(x) := k\cdot p(x) = \sum\limits_{i=0}^d ka_ix^i \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} P_d = R^d \end{eqnarray*}$

Also die Aussage wäre dann, wenn man p(x) mit q(x) summiert, addieren sich ihre Koeffizienten zunächst und multiplizieren sich dann mit gleichem Polynom.

21.11.2014, 23:00

Iorek

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Und bitte keine weiteren Schnellschüsse mehr. Nimm dir die Zeit, deine Aussagen in Ruhe zu überlegen. Mathematik betreibt man nicht einfach nebenbei.

Du gehst davon aus, dass beide Polynome den gleichen Grad haben, das habe ich so nicht vorausgesetzt. Allgemein muss der Grad von zwei Polynomen nicht gleich sein, um sie addieren zu können.

Zitat:

Original von Shinobi.Master
Damit ist $\begin{eqnarray*} P_d = R^d \end{eqnarray*}$

Also die Aussage wäre dann, wenn man p(x) mit q(x) summiert, addieren sich ihre Koeffizienten zunächst und multiplizieren sich dann mit gleichem Polynom.

Hier weiß ich überhaupt nicht, was du damit aussagen willst.

21.11.2014, 23:10

Shinobi.Master

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Das schlimme ist ja, ich muss Beweise irgendwann mal beherrschen, da das ja fast nur noch in Mathe vorkommt und mir wurde es einfach noch nicht so gut beigebracht, wie man Beweise führt.

z.B. ist es mir manchmal schleierhaft, wann ein Beweis wirklich zuende ist. Eigentlich doch, wenn man die Behauptung bewiesen oder widerlegt hat, aber das ist nicht immer bei allen so ersichtlich finde ich.

Oder auch mit welchen Voraussetzungen man arbeiten muss, wie man auf welche Ansätze kommt usw.

Ich muss unbedingt mal einen fähigen Menschen finden, der mir das beibringt. Denn aus den ganzen Formeln allein, wie sie in Büchern oder im Netz stehen, werde ich nicht unbedingt schlauer. Es sei denn, es wird direkt an einem Beispiel erklärt und was dann die Formeln daran bedeuten. Das fehlt mir in meiner Vorlesung wirklich.

Aber naja... also mit $\begin{eqnarray*} P_d = R^d \end{eqnarray*}$ ist gemeint, dass die Dimension eines Polynoms gleich dem grad(dimension) der reellen Zahlen ist.

21.11.2014, 23:24

Iorek

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Was soll denn der Grad/Dimension der reellen Zahlen sein? verwirrt

Beweisen lernt man nicht in wenigen Tagen und Beweise schreibt man auch nicht einfach so runter. Um einen Beweis ordentlich zu führen, muss man sich mit den gegebenen Voraussetzungen, Objekten, Mengen etc. beschäftigen. Es gibt keine vorgeschriebene Methode, wie man auf einen Beweis kommt und es gibt auch nicht DEN einen Beweis für eine Aussage. Natürlich gibt es gewisse Regelmäßigkeiten, an denen man sich beim Nachweis z.B. wie hier eines Unterraums orientieren kann und mit der Zeit bekommt man ein Auge dafür, wie man vorgehen könnte. Ob der Ansatz jetzt aber wirklich passt, ist dadurch natürlich nicht gesichert. Es gehört gerade am Anfang auch ein bisschen "Trial and Error" dazu, man muss mit den Objekten etwas rumspielen und ausprobieren und sich damit vertraut machen.

In welchem Kontext kommt diese Aufgabe dran, welche Vorlesung in welchem Studiengang?

21.11.2014, 23:32

Shinobi.Master

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Also an sich studiere ich Physik als Monobachelor, aber "leider" muss ich dazu auch das Modul Lineare Algebra erfolgreich abschließen und das tolle daran ist auch noch: Der eigentlich Lineare Algebra Kurs für PHYSIKER findet nicht statt, weil irgendjemand Krank geworden ist, der das organisiert und das wurde dann zu spät bemerkt und kein Professor hat sich dann mehr gefunden.

Aber schlussendlich wurden wir dann einfach in den Linearen Algebra Kurs für INFORMATIKER gesteckt. Und da kommen solche Aufgaben dran.

Ich als Physiker habe natürlich wenig mit Beweise am Hut. Die bringen keine neue erkenntnis, sondern "beweisen" lediglich das, was man schon weiß.

22.11.2014, 10:23

Iorek

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Ich als Physiker habe natürlich wenig mit Beweise am Hut. Die bringen keine neue erkenntnis, sondern "beweisen" lediglich das, was man schon weiß.

Dem würde ich stark widersprechen wollen. Gerade ein selbst geführter Beweis bringt neue Erkenntnis über den Umgang mit den gegebenen Strukturen. Und "weißt" du wirklich, dass es sich bei $\begin{eqnarray*} \mathbb R_n[x] \end{eqnarray*}$ um einen Vektorraum bzw. Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} \mathbb R[x] \end{eqnarray*}$ handelt? Nüchtern betrachtet ist dieser Beweis auch eine Rechenaufgabe; es müssen lediglich die Unterraumkriterien nachgerechnet werden, das funktioniert hier sogar nach einem fest vorgegebenem Muster. Die einzige Leistung die man über das Rechnen hinaus erbringen muss, ist der Umgang mit einem allgemeinen Polynom. Und das wird auch in der Physik verlangt werden, in der theoretischen Physik werden vor allem auch Beweise wichtig werden.

Zu der von mir gestellten Aussage:

Seien $\begin{eqnarray*} p(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k,q(x)=\sum\limits_{k=0}^m b_kx^k \end{eqnarray*}$ zwei reelle Polynome mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p)=n,\operatorname{grad}(q)=m \end{eqnarray*}$ (also ist $\begin{eqnarray*} a_n\neq 0,b_m\neq 0 \end{eqnarray*}$ ). Dann gilt für die Summe von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p+q)\leq \max\{m,n\} \end{eqnarray*}$ , d.h. der Grad von $\begin{eqnarray*} p+q \end{eqnarray*}$ kann nicht größer sein, als $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .

Beweis (sehr ausführlich):

Sei zunächst $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ , d.h. der Grad von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ist größer als der Grad von $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ . Dann können wir $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ umschreiben:
$\begin{eqnarray*} p(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k=\sum\limits_{k=0}^ma_kx^k+\sum\limits_{k=m+1}^na_kx^k \end{eqnarray*}$
Damit gilt für die Summe:
$\begin{eqnarray*} p(x)+q(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k+\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k=\sum\limits_{k=0}^ma_kx^k+\sum\limits_{k=m+1}^na_kx^k + \sum\limits_{k=0}^mb_kx^k \end{eqnarray*}$
Nun können wir die Summen, die von $\begin{eqnarray*} k=0 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ laufen zusammenfassen und das Distributivgesetz anwenden:
$\begin{eqnarray*} p(x)+q(x)=\sum\limits_{k=0}^ma_kx^k+\sum\limits_{k=m+1}^na_kx^k + \sum\limits_{k=0}^mb_kx^k = \sum\limits_{k=0}^ma_kx^k+ \sum\limits_{k=0}^mb_kx^k+\sum\limits_{k=m+1}^na_kx^k = \sum\limits_{k=0}^m\left(a_kx^k+b_kx^k\right) +\sum\limits_{k=m+1}^na_kx^k=\sum\limits_{k=0}^m(a_k+b_k)x^k +\sum\limits_{k=m+1}^na_kx^k \end{eqnarray*}$ .
Nach Voraussetzung ist $\begin{eqnarray*} a_n\neq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} n>m \end{eqnarray*}$ , also ist die höchste vorkommende Potenz von $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gerade $\begin{eqnarray*} x^n \end{eqnarray*}$ . Insgesamt ist damit:
$\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p+q)=n=\max\{m,n\} \end{eqnarray*}$ .
Im Fall $\begin{eqnarray*} m>n \end{eqnarray*}$ berechnet man analog: $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p+q)=m=\max\{m,n\} \end{eqnarray*}$ (diesen Fall könntest du selbst einmal durcharbeiten, natürlich ohne im ersten Fall abzugucken.)
Sei nun $\begin{eqnarray*} n=m \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p)=\operatorname{grad}{q} \end{eqnarray*}$ . Wir können also z.B. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ umschreiben zu: $\begin{eqnarray*} q(x)=\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k=\sum\limits_{k=0}^nb_kx^k \end{eqnarray*}$ . In diesem Fall erhalten wir:
$\begin{eqnarray*} p(x)+q(x)=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k+\sum\limits_{k=0}^mb_kx^k=\sum\limits_{k=0}^na_kx^k+\sum\limits_{k=0}^nb_kx^k=\sum\limits_{k=0}^n\left(a_kx^k+b_kx^k\right)=\sum\limits_{k=0}^n(a_k+b_k)x^k \end{eqnarray*}$ .
Falls $\begin{eqnarray*} a_k+b_k\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, so ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p+q)=n=\max\{m,n\} \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} a_k+b_k=0 \end{eqnarray*}$ ist, so ist $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p+q)<n=\max\{m,n\} \end{eqnarray*}$ .

Insgesamt ist also $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p+q)\leq\max\{m,n\} \end{eqnarray*}$ .

In diesem Beweis solltest du jetzt eigentlich den korrekten Umgang mit allgemeinen Polynomen nachvollziehen können. Geh die Aussage noch einmal im Kopf durch, erstelle dir selber ein paar Beispiele (schreib dir 5 verschiedene Polynome auf und bilde für jede mögliche Kombination die Summe). Beispiele können sehr viel zum Verständnis beitragen und einen möglichen Ansatz für einen Beweis liefern. Und dann überleg dir, wieso ich dir mit diesem Beweis schon 80% der Arbeit für deine Aufgabe erledigt habe. Welcher Teil bzw. welches Kriterium ist damit bereits vollkommen abgehakt? Und wie könnte man das Vorgehen auf das noch zu prüfende Kriterium anwenden?

22.11.2014, 16:00

Shinobi.Master

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Vielen dank für deinen ausführlichen Beweis!

Du hast mir damit 80% bereits bewiesen, weil du mir die vorgehensweise für das zweite Prüfkriterium für UVR geliefert hast, sprich:

Für alle $\begin{eqnarray*} v,w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$ gilt: $\begin{eqnarray*} v+w\in\mathcal U \end{eqnarray*}$

Das heißt, um den Beweis zu vervollständigen müsste ich nur noch das I und III Kriterium nachweisen und dann wären wir fertig.

Wobei mir das erste vollkommen logisch erscheint, dass es nicht eine leer Menge sein darf, um ein UVR zu sein. Doch wie weißt man das nach. So lang kann doch das nicht sein, ist doch sicherlich wieder ganz trivial.

Und das dritte ist eigentlich in dem Sinne schon bewiesen durch das zweite, weil doch bei der Summe von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^m(a_k+b_k)x^k \end{eqnarray*}$ schon quasi da steht, dass egal mit welcher konstanten man das Element multipliziert, es immer noch ein Element von der eigentlichen Menge ist.

22.11.2014, 16:48

Iorek

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Nein, das ist noch nicht die gesamte Begründung für das zweite Kriterium. Die Aussage, dass $\begin{eqnarray*} \operatorname{grad}(p+q)\leq\max\{m,n\} \end{eqnarray*}$ ist, habe ich zunächst völlig unabhängig von der gestellten Aufgabe bewiesen. Allerdings kannst du diese Argumentation dabei verwenden.

Du weißt ja aber gar nicht, ob die Menge nicht vielleicht doch leer ist! Wenn ich dir einen großen Postsack vor die Füße schmeiße und dich frage, ob der Postsack leer ist, was würdest du machen? Einfach annehmen, dass der Postsack nicht leer ist, weil es sonst keinen Sinn ergibt? Nein, du würdest dir den Postsack nehmen und gucken, ob du nicht vielleicht einen Brief darin findest, ergo wäre der Postsack nicht leer. Und genau das machst du hier auch. Du guckst dir an, ob du irgendein Element in der Menge findest.

Und für die dritte Sache solltest du dir zunächst einmal ganz sauber und formal aufschreiben, was da jetzt zu zeigen ist. Natürlich geht da auch wieder eine ähnliche Idee wie oben ein, trotzdem muss es sauber und auf die Aufgabe angepasst formuliert werden.

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Beweis Rn(x) Untervektorraum von R(x)

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