Integralkurve auf Vektorfeld bestimmen und Periodizität prüfen

21.11.2014, 19:19	Cilli	Auf diesen Beitrag antworten »
Integralkurve auf Vektorfeld bestimmen und Periodizität prüfen Hallo liebes Matheboard, Ich habe etwas Probleme mit der Bearbeitung der folgenden Aufgabe: "Betrachten Sie das Vektorfeld $\begin{eqnarray} v:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ gegeben durch $\begin{eqnarray} v(x,y)=(y,-2x^3-x) \end{eqnarray}$ und zeigen Sie, dass die Integralkurven von $\begin{eqnarray} v \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ definiert sind und dass sie periodisch sind." Ich übersetzte es so, dass ich zeigen soll das die Lösungen ("Integralkurven") der durch das Vektorfeld induzierten DGL 1.Ordnung $\begin{eqnarray} x:I\rightarrow \mathbb{R}^2 \end{eqnarray}$ auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ existieren, d.h. $\begin{eqnarray} I=\mathbb{R} \end{eqnarray}$ . An dieses Problem würde ich mit dem "globalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz" herangehen obwohl dieser mir zunächst mehr liefern würde als ich benötige (bspw. die Eindeutigkeit der Lösung), d.h. wenn das durch die DGL gegebene Vektorfeld stetig und lokal lipschitzstetig bzgl $\begin{eqnarray} (x,y)\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ist, habe ich in jedem Fall eine Lösung. Die partiellen Ableitungen liefern zunächst: $\begin{eqnarray} \frac{\partial v_{x}}{\partial x}=0=\frac{\partial v_{y}}{\partial y} , \frac{\partial v_{x}}{\partial y}=1, \frac{\partial v_{y}}{\partial x}=-6x^2-1 \end{eqnarray}$ Somit sehen wir zunächst, dass es sich um ein stetig partiell diffbares Vektorfeld handelt, somit insb. auch stetig. Leider habe ich das Gefühl das ich in die falsche Richtung laufe. Ist es wirklich der "gleobale Ex- und Eind.-Satz" der hier seine Anwendung findet? Ich würde mich sehr über Tipps und Hilfestellungen freuen. Gruß, Chilli
23.11.2014, 17:00	Cilli	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo nochmal, mit dem Satz "Hinreichendes Kriterium für lokale Lipschitzbedingung"konnte ich die lokale lipschitzstetigkeit sehr leicht folgern (aus partieller stetiger diffbarkeit folg die lokale Lipschitzstetigkeit). Wie aber kann ich geschickt die Periodizität zeigen? Muss ich explizit eine Lösung ermitteln um dies zu überprüfen, oder geht es auch anders? Denn mir ist bekannt, dass eine Integralkurve $\begin{eqnarray} x(t) \end{eqnarray}$ dann als periodisch (mit Periode $\begin{eqnarray} (s-r) \end{eqnarray}$ ) gilt, wenn seine zeitliche Ableitung überall ungleich Null ist und $\begin{eqnarray} \exists r,s\in I: r\neq s \wedge x(s)=x(r) \end{eqnarray}$ gilt. Würde mich sehr über Antworten freuen. Liebe Grüße, Chilli
23.11.2014, 22:04	Cilli	Auf diesen Beitrag antworten »
Das das Vektorfeld keine stationären Punkte aufweisst, stellt kein Problem denn es gilt: $\begin{eqnarray} v(x,y)=\binom{y}{-2x^{3}-x}=\binom{0}{0}\Rightarrow y=0 \wedge -2x^3-x=0\Rightarrow y=0\wedge x=\pm \sqrt{-\frac{1}{2}}\notin \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Lediglich die eigentliche Periodizität bereitet mir Probleme. Aber dort fehlt mir leider jeder Ansatz Würde mich wirklich sehr über eine Antwort freuen. Liebe Grüße, Chilli

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