Grenzwert einer Folge

21.11.2014, 19:37

claritia

Grenzwert einer Folge

Meine Frage:
Hey, ich habe eine Problem bei dieser Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} (\frac{\sin(x)}{x})^{\frac{3}{x^2} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Da die Funktion gegen 1^ $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ strebt, muss man x^x= (e^lnx)^x einsetzen...

Jedoch wird der Ausdruck sehr kompliziert.
Was mache ich falsch? Wie geht die Aufgabe? Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank smile

22.11.2014, 02:15

Guppi12

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Hallo,

ich schlage folgendes vor:

Stelle $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{x} \end{eqnarray*}$ dar als $\begin{eqnarray*} 1+x^2 h(x) \end{eqnarray*}$ mit passendem $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ (Potenzreihe des Sinus) und schreibe dann alles als Exponent einer Exponentialfunktion. Danach kannst du dein Verfahren der Wahl anwenden (L'Hospital / Potenzreihe des Logarithmus oder Ähnliches).

22.11.2014, 10:38

claritia

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Vielen Dank für Deine Antwort.
Ich habe folgendes gerechnet: (1/x)*sin(x)= (1/x)*(Potenzreihe von sin(x))

und habe folgendes herausbekommen

e^ln(1- x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ....)

wie rechnet man dann weiter?

Danke Wink

22.11.2014, 11:50

HAL 9000

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Es gibt hier im Detail verschiedene Möglichkeiten, aber bei keiner wirst du um irgendwelche Hilfsbetrachtungen herumkommen. Beim Weg von Guppi12 wird man (mit Landau-Symbol o(..)) geschrieben irgendwann sowas wie

$\begin{align*} \lim_{t\to 0} \left( 1 + at + o(t) \right)^{\frac{1}{t}} = e^a \end{align*}$

nutzen wollen, was natürlich auch zu begründen ist. Ähnlich ist es bei deinem Weg mit $\begin{align*} \ln(1+at+o(t)) = at + o(t) \end{align*}$ usw.

Andere Variante: Sofern der Grenzwert existiert, gilt wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion

$\begin{align*} \lim_{x\to 0} \left( \frac{\sin(x)}{x} \right)^{\frac{3}{x^2}} = \lim_{x\to 0} \exp\left( \frac{3}{x^2} \ln\left( \frac{\sin(x)}{x} \right) \right) \stackrel{S}{=} \exp\left( \lim_{x\to 0} \frac{3}{x^2} \ln\left( \frac{\sin(x)}{x} \right) \right) \end{align*}$ .

Und nun den inneren Grenzwert mit L'Hospital berechnen:

$\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{3}{x^2} \ln\left( \frac{\sin(x)}{x} \right) \stackrel{LH}{=} 3\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\cos(x)}{\sin(x)}-\frac{1}{x}}{2x} = 3\lim_{x\to 0} \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{2x^2\sin(x)} = \ldots \end{align*}$ ,

wobei man die weitere Rechnung im Nenner noch ein wenig vereinfachen kann, wenn man $\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{align*}$ (durch faktorielle Abtrennung) nutzt.

22.11.2014, 12:41

Guppi12

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Zitat:

Original von claritia

und habe folgendes herausbekommen

e^ln(1- x^2/3! + x^4/5! - x^6/7! + ....)

Das ist aber nicht richtig. Was ist mit dem Exponent $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x^2} \end{eqnarray*}$ ?
Das Argument des Lograrithmus ist aber richtig. Wenn du das als $\begin{eqnarray*} 1+x^2h(x) \end{eqnarray*}$ schreiben sollst, was ist dann $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ? Insbesondere wird für weitere Berechnung wichtig sein: Ist $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar und was ist $\begin{eqnarray*} h(0) \end{eqnarray*}$ ? Wenn du das nämlich hast, führt L'Hospital danach sehr flott zur Lösung.

22.11.2014, 12:45

claritia

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Hey, ich habe die Aufgabe gerade nachgerechnet. Die Rechenschritte haben mir sehr geholfen.
Jedoch bleibe ich bei der Vereinfachung des Bruches stecken...

Wenn ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ abtrenne, wird der Ausdruck bei mir noch viel komplizierter.

Ich habe versucht den L´Hospital anzuwenden, jedoch hilft das auch nicht weiter...., da ich ihn 3-4 anwenden muss verwirrt

22.11.2014, 12:48

claritia

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Hey Guppi12,
leider haben wir das Landau-Symbol nicht durchgenommen. Ich weiß gar nicht was das ist.

Wieso ist mein Ansatz mit der Potenzreihe falsch? unglücklich

In der Formelsammel vom Binomiverlag F3 steht sie.

LG Claritia

22.11.2014, 12:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von claritia
Wenn ich $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \end{eqnarray*}$ abtrenne, wird der Ausdruck bei mir noch viel komplizierter.

Was ist es nur, dass viele mich immer falsch verstehen wollen? Ich sehe

$\begin{align*} 3\lim_{x\to 0} \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{2x^2\sin(x)} = 3\lim_{x\to 0} \frac{x\cos(x)-\sin(x)}{2x^3} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{x}{\sin(x)} \end{align*}$

durchaus als Vereinfachung, da muss man sich nicht mit so langen Ableitungen im Nenner plagen.

22.11.2014, 12:52

Guppi12

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Hallo,

du brauchst garkeine Landausymbole Augenzwinkern

Deine Potenzreihe ist ja auch richtig. Lies doch meinen Beitrag noch einmal genau. Du hast ganz einfach den Exponenten vergessen, der da vorher schon stand. Das hat mit der Potenzreihe nichts zu tun.

Edit: Werde mich hier erstmal zurückziehen. Ich denke es verwirrt mehr, als es hilft, wenn zwei Leute gleichzeitig hier aktiv sind. Wenn ihr beide durch seid, kann ich meinen Ansatz nochmal zu Ende führen Augenzwinkern

22.11.2014, 13:07

claritia

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Hey,
ich habe den limes aus der Summe ausgeklammert. Daher war es komplizierter.
Dein Rechenweg ist genial. Freude

Ich wäre allein überhaupt nicht drauf gekommen.

Als Ergebnis habe ich -1/6 rausbekommen. Stimmt das? Dafür habe ich den L'Hospital 3 mal angewendet.

LG Christine

22.11.2014, 13:09

claritia

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Vielen Dank Guppi12 für deine Hilfe. smile

Jetzt habe ich auch gesehen, dass ich die Exponenten vergessen habe.

LG Claritia

22.11.2014, 13:22

Guppi12

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Ok, scheint mir so, als wäre Hal gerade nicht da. Dann mache ich doch einmal weiter(aber zunächst mal seinen Ansatz, da bist du ja so gut wie fertig) :

-1/6 ist richtig. Aber da stand ja noch eine 3 vor dem Limes.

Wir haben nun ja den Grenzwert des Exponenten der Exponentialfunktion herausgefunden. Was ist also insgesamt der Grenzwert?

22.11.2014, 14:17

claritia

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Danke Guppi12 smile

Und danke Hal9000. smile

Das mit der 3 vor dem Limes habe vergessen...dann wird das Ergebnis -1/2 sein.
Das war eine Staatsexamensaufgabe für nicht vertieft in Bayern....Fandest du sie schwer? Ich schon.

LG Claritia

22.11.2014, 14:26

Guppi12

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Hallo,

nein, das Ergebnis ist nicht $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}f(x) = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ gilt, dann ist doch nicht $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\exp(f(x)) \end{eqnarray*}$ ebenfalls $\begin{eqnarray*} -\frac 12 \end{eqnarray*}$ ?!

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