Potenz rechnen in einer definierten Gruppe

22.11.2014, 00:15	Dragony	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenz rechnen in einer definierten Gruppe Meine Frage: Hallo zusammen, laut dem beigefügten Bild, ist eine Gruppe durch eine Verknüpfungstafel definiert. In Aufgabe a) sind die zyklischen Untergruppen von a zu bilden. Bspw. a=2, <2> = $\begin{eqnarray} \left\{2, 1, 0\right\} \end{eqnarray}$ Wobei eine zyklische Untergruppe mit $\begin{eqnarray} \left\{ a^{k} \| k \in \mathbb{Z} \right\} \end{eqnarray}$ definiert ist. Wie kommt nun in <2> die 2 zustande? Meine Ideen: Allgemein kann ich die Potenzschreibweise ja so definieren: $\begin{eqnarray} a^{n} = a^{n-1} a \end{eqnarray}$ . Korrekt? Gehe ich davon aus. dass $\begin{eqnarray} 2^{0} = 2 \end{eqnarray}$ ist, dann ist $\begin{eqnarray} 2^{1} = 2^{0} * 2 \end{eqnarray}$ . Da $\begin{eqnarray} 2^{0} = 2 \end{eqnarray}$ , verknüpfe ich 2 mit 2, laut Tafel ist dies 1. Also $\begin{eqnarray} 2^{1} = 1 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} 2^{2} = 2^{1} * 2 = 1 * 2 = 0 \end{eqnarray}$ . Dann hätte ich die Menge $\begin{eqnarray} \left\{2, 1, 0\right\} \end{eqnarray}$ . Aber wieso ist $\begin{eqnarray} 2^{0} = 2 \end{eqnarray*}$ ? Es müsste ja 2 mit 0 verknüpft werden damit ich als Ergebnis 2 erhalte.
22.11.2014, 00:55	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum sollte $\begin{align} 2^0=2 \end{align}$ gelten? Im reellen ist das ein wenig anders definiert, also warum willst Du in dieser Gruppe eine eigene Definition (die noch dazu die Potenzgesetze verletzt) einführen?
22.11.2014, 08:55	Dragony	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, dann ist also $\begin{eqnarray} 2^{0} = 1 \end{eqnarray}$ , so wie wir es kennen. Aber in a=3 ist 1 kein Element der Lösungsmenge. Wie also kann ich mir die Lösungsmenge richtig herleiten?
22.11.2014, 09:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist leider auch nicht richtig. $\begin{eqnarray} a^0 \end{eqnarray}$ ist das netrale Element der Gruppe und das ist in deiner Verknüpfungstabelle die 0.
22.11.2014, 09:29	Dragony	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich kannte bisher nur $\begin{eqnarray} a^{0}=1 \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} 2^{0} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{1} = 2^{0} 2 = 0 * 2 = 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2^{2} = 2^{1} * 2 = 2 * 2 = 1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 1^{0} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1^{1} = 1^{0} * 1 = 0 * 1 = 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 1^{2} = 1^{1} * 1 = 1 * 1 = 2 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 3^{0} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 3^{1} = 3^{0} * 3 = 0 * 3 = 3 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} 4^{0} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4^{1} = 4^{0} * 4 = 0 * 4 = 4 \end{eqnarray*}$
22.11.2014, 11:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
genau so ist es
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22.11.2014, 11:37	Dragony	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine schnelle Hilfe Noch eine letzte Frage, kannst du dir die Reihenfolge der Lösungsmenge erklären? Das hat mich nämlich irritiert, sodass ich dachte 2^0 = 2
22.11.2014, 12:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer Menge ist die Reihenfolge im Prinzip egal. Vom Vorgehen her wurde vom erzeugenden Element ausgegangen und nacheinander multipliziert bis ein Element herauskommt, dass schon in der Menge enthalten ist. Hier also erst 2, dann 22=1, 12=0 und 0*2=2, was den Kreis schließt.

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