Konvergenz der Folge: an+1 = (an*an-1)^2 , für n>= 1

22.11.2014, 13:43

Panasonic18

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Konvergenz der Folge: an+1 = (an*an-1)^2 , für n>= 1

Meine Frage:
Bezüglich einer Hausübung muss ich für die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \left(a_{n} \*a_{n} -1\right) ^2 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ prüfen, ob diese konvergiert und ggf. den Grenzwert angeben.

"Prüfen Sie nach, ob (an)n?N definiert durch a0 =1, a1 = 1, und an+1 =(an*an?1)^2, für n?1 konvergiert, und geben Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert an."

Meine Ideen:
Angefangen habe ich mit der Vermutung, das an monoton fallend ist und nach unten beschränkt durch $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } (a_{n} ) = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Also Behauptung: $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \leq a_{n} \end{eqnarray*}$

Zu meiner Frage, wie zeige ich das jetzt? Per Induktionsbeweis? so recht weiß ich nämlich nicht was $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ist. Darüber hinaus weiß ich nicht so recht, wie ich mit der Folge umgehen muss. Erster wert ist ja a0=1 wie komme ich von a0=1 auf a1=1/2 und wie komme ich auf a2?

Ich bitte darum mit nicht direkt den gesamten Lösungswegs raus zu hauen.

LG

22.11.2014, 13:49

HAL 9000

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Mich wundert ein wenig die Schreibweise $\begin{align*} a_{n+1} = \left(a_{n}a_{n}-1\right)^2 \end{align*}$ , da man dies ja sonst eher gleich als $\begin{align*} a_{n+1} = \left(a_{n}^2-1\right)^2 \end{align*}$ formulieren würde. verwirrt

verwirrt

Oder meinst du stattdessen $\begin{align*} a_{n+1} = \left(a_{n}a_{n-1}\right)^2 \end{align*}$ ? Für diese Variante würde sprechen, dass in deinem Zahlenbeispiel zwei Anfangswerte $\begin{align*} a_0 \end{align*}$ und $\begin{align*} a_1 \end{align*}$ statt nur einem gegeben sind...

22.11.2014, 14:01

panasonic18

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Hallo,

ja ich meine zweiteres, sorry habe vergessen die -1 in den Index zu stecken..

noch eine Frage, kann ich statt der Induktion, falls ich diese überhaupt machen muss auch einfach durch einsetzen zeigen, dass die Folge monoton fällt?

also ao = 1 und a1=1/2, für die Folgeglider wird ja immer nur der Nenner potenziert, d.h. durch einsetzen ergibt sich ja das Folgeglied 1/4 dann 1/64 und so weiter. Also die Folge ist klar monoton fallend und nähert sich Null an also Inf (an) ist 0. Mir ist nicht so klar wie ich das korrekt zeigen/beweisen soll.

22.11.2014, 14:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von panasonic18
also ao = 1 und a1=1/2

Ist das eine weitere Korrektur? Oben stand noch $\begin{align*} a_0=1,a_1=1 \end{align*}$ , was mich wegen der dann bestehenden Einfachheit der Aufgabe schon gewundert hatte.

Das war jetzt hoffentlich die letzte "Gurke" in der Aufgabenstellung. unglücklich

unglücklich

22.11.2014, 14:09

panasonic18

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Ja jetzt sollte es stimmen

22.11.2014, 14:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Panasonic18
Erster wert ist ja a0=1 wie komme ich von a0=1 auf a1=1/2?

Gar nicht, die Rekursion $\begin{align*} a_{n+1} = \left(a_{n}a_{n-1}\right)^2 \end{align*}$ gilt erst für $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ (steht doch bei dir sogar mit da!) und greift auf zwei statt nur einen Vorgänger zurück. Man benötigt also zwingend die Angabe beider Startwerte $\begin{align*} a_0,a_1 \end{align*}$ , damit die Folge eindeutig definiert ist!

Und dann geht es so weiter:

$\begin{align*} a_2 = (a_0a_1)^2 = \left(1 \cdot \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \end{align*}$

$\begin{align*} a_3 = (a_1a_2)^2 = \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{64} \end{align*}$

....

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22.11.2014, 14:17

panasonic18

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Ja, ich habe doch gerade gesagt, das es mit a0 = 1 und a1= 1/2 jetzt stimmen sollte.

Ja, die Frage hat sich mittlerweile bei mir geklärt, es ist eine rekursiv definierte Folge, daher auch die zwei vorgegebenen Werte. Was ich mich nun frage, wie ich meine Vermutung beweisen soll

22.11.2014, 14:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von panasonic18
Ja, ich habe doch gerade gesagt, das es mit a0 = 1 und a1= 1/2 jetzt stimmen sollte.

Bist du genervt, weil ich deine Fragen beantworte? Na dann entschuldige. unglücklich

unglücklich

22.11.2014, 14:38

panasonic18

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Ich bin doch nicht genervt, falls das jetzt so rüber kam, dann entschuldige ich mich Big Laugh

Big Laugh

Ich möchte nur gerne wissen, ob es ausreicht mit werten die Monotonie zu beweisen oder muss ich zwingend per Induktion beweisen.

z.z. ist ja :

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (a_{n} * a_{n-1}) ^2 \leq (a_{n-1} *a_{n-2})^2=a_{n} \end{eqnarray*}$

oder irre ich mich mit an?

22.11.2014, 15:04

panasonic18

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Unter der Annahme es ist korrekt dann folgt ja:

$\begin{eqnarray*} a_{n} *a_{n-1} \leq a_{n-1} *a_{n-2} \end{eqnarray*}$

und daraus:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n-2} \end{eqnarray*}$ , was ja eine wahre Aussage ist.

Da $\begin{eqnarray*} a_{n} = (a_{n-1} * a_{n-2} )^2 \forall (a_{n})\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt, muss ja an größer als 0 sein oder? und demnach 0 aufjedenfall Inf von an sein?

22.11.2014, 15:24

HAL 9000

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Naja, mit bloßer Monotonie hast du natürlich noch nicht den Grenzwert. Ich würde (per Induktion) gleich ein wenig mehr nachweisen, z.B. $\begin{align*} a_n\leq \frac{1}{2^n} \end{align*}$ , dann wäre unmittelbar die Konvergenz $\begin{align*} \lim_{n\to\infty} a_n = 0 \end{align*}$ gesichert. Aber ich will dir natürlich keine Vorschriften machen, es gibt hier viele Möglichkeiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.11.2014, 17:41

panasonic18

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Du meinst die Folge als Reihe darstellen und mittels majoranten-Kriterium beweisen, dass die Folge ebenfalls Konvergent ist?

wäre meine Variante denn so gültig?

22.11.2014, 17:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von panasonic18
Du meinst die Folge als Reihe darstellen und mittels majoranten-Kriterium beweisen, dass die Folge ebenfalls Konvergent ist?

Von Reihen habe ich nirgendwo geredet, also meine ich das auch nicht. unglücklich

unglücklich

Und zu deinem Monotoniebeweis:

Zitat:

Original von panasonic18
und daraus:

$\begin{eqnarray*} a_{n} \leq a_{n-2} \end{eqnarray*}$ , was ja eine wahre Aussage ist.

Wieso soll das wahr sein?

EDIT: Ach Ok, du willst ja hier $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ nachweisen - ich hatte jetzt fälschlicherweise im Hinterkopf, dass du $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n-1} \end{eqnarray*}$ nachweisen willst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.11.2014, 17:09

panasonic18

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So, also damit habe ich ja bewisen, das es monoton fällt. Kann mir jemand sagen, wir ich nun beweise, dass es gegen Null konvergiert?

29.11.2014, 15:24

panasonic18

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Also wie ich den Grenzwert dieser Folge bestimme

29.11.2014, 15:35

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Soweit ich das gesehen habe, hast du bisher nur die Monotonie gezeigt. Um überhaupt auf Konvergenz zu schließen, fehlt da noch eine Eigenschaft der Folge.
Wenn die Konvergenz gesichert ist, bekommt man Grenzwert in der Regel aus der definierenden Gleichung $\begin{align*} a_{n+1} = \left(a_{n}a_{n-1}\right)^2 \end{align*}$ durch Grenzübergang.

30.11.2014, 16:45

panasonic18

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Wie meinst du das durch Grenzübergang?

30.11.2014, 17:33

URL

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Welche Eigentschaft fehlt noch?
$\begin{align*} \lim_{n\to\infty}a_{n+1} = \lim_{n\to\infty}\left(a_{n}a_{n-1}\right)^2 \end{align*}$

30.11.2014, 17:45

panasonic18

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Wie Eigenschaft? Keine Ahnung was du meinst Big Laugh

Big Laugh

Meinst du, dass die Folge nach unten Beschränkt ist?

Falls ja, das habe ich so gezeigt:

$\begin{eqnarray*} a_{n+1} = (a_{n} *a_{n-1})^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

dann die Wurzel gezogen:

$\begin{eqnarray*} = |a_{n}*a_{n-1} | \geq 0 \end{eqnarray*}$

was ja wahr sein muss.

30.11.2014, 21:04

panasonic18

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kann mir denn keiner helfen den grenzwert zu bestimmen?

Es gilt ja: an--> a für den grenzwert und demnach auch an+1 --> a

aber wie komme ich explizit auf den Grenzwert?

01.12.2014, 21:58

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Ja, Beschränktheit meinte ich.

HAL hat dir gezeigt, wie man den Grenzwert direkt bekommen könnte.
Ich habe dir eine Gleichung aufgeschrieben, aus der du den Grenzwert bestimmen kannst.
Du benutzt weder das eine noch das andere, sondern lamentierst lieber.

Wie soll man dir denn noch helfen?
Und warum eigentlich? geschockt

geschockt

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