Äquivalenz Wurzel mit negativen Exponent

22.11.2014, 19:38

charms

Äquivalenz Wurzel mit negativen Exponent

Meine Frage:
Hi,

sind die beiden Gleichungen äquivalent?
[attach]36171[/attach]

(Nöchstes Mal nutze ich den Formeleditor, hatte das "bild" schon fertig.)

Falls äquivalenz besteht, würde mir eine Überführung der einen Gleichung in die andere sehr helfen.

Herzlichen Dank
Christian

Meine Ideen:
Ich kenne folgende Umformung

$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{-1} } } \end{eqnarray*}$

unter http://www.mathe-trainer.de/Klasse10/Pot...sungen/A1-3.htm
wird folgendes gemacht.

$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{12} } = \sqrt[12]{a^{-1}} \end{eqnarray*}$

edit von sulo: Link entfernt, Grafik verkleinert und eingefügt, Satz zum Link entfernt.

22.11.2014, 21:30

Helferlein

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Nutze $\begin{eqnarray*} 1=\sqrt[12]1 \end{eqnarray*}$

22.11.2014, 21:31

Dopap

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RE: Äquivalenz Wurzel mit negativen Exponent

Zitat:

Original von charms
ch kenne folgende Umformung

$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{-1} } } \end{eqnarray*}$

Ich kenne die nicht unglücklich

22.11.2014, 21:49

charms

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Stimmt Dopap, da ist ein Fehler n der Umformung:
Korrektur:
$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{1} } } \end{eqnarray*}$
oder aber:
$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^{-1}} \end{eqnarray*}$

Ich hoffe nun stimmt alles.
Beide Umformungen fand ich so in Lehrbüchern. Frage ist weiterhin die nach der Äquivalenz.

Bei negativem Exponenten:
$\begin{eqnarray*} a^{-2}= \frac{1}{a^{2}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich dies auf $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^{-1}} \end{eqnarray*}$ anwende, warum kommt die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ nicht "unter die Wurzel"? Oder bin ich komplett auf dem Holzweg?

22.11.2014, 21:54

Dopap

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Zitat:

Original von charms

Bei negativem Exponenten:
$\begin{eqnarray*} a^{-2}= \frac{1}{x^{2}} \end{eqnarray*}$

????

verwende bitte die Vorschaufunktion.

22.11.2014, 21:56

charms

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Ist korrigiert, entschuldigt bitte. Mein texen is schon ne Weile her.

22.11.2014, 22:02

Dopap

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Du brauchst nichts auf irgendwas anwenden.

wenn du willst, kannst du direkt

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{a^{-1}}=\sqrt[n]{\frac 1a} \end{eqnarray*}$ schreiben. Einfach deshalb weil $\begin{eqnarray*} a^{-1}=\frac 1a \end{eqnarray*}$ gilt

22.11.2014, 22:09

charms

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Ok.
Schau doch nochmal die beiden Umformungen aus meinem Post weiter oben an. Einmal wird 1 durch die Wurzel geteilt bei der zweiten Umformung gibt es keine Division aber einen negativen Exponenten unter der Wurzel.
Sind beide Umformungen äquivalent?
Ich gehe davon aus, verstehe aber nicht, wie man die eine in die andere überführt.

22.11.2014, 22:22

Dopap

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Zitat:

Original von charms

$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^{1} } } \end{eqnarray*}$
oder aber:
$\begin{eqnarray*} a^{-\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a^{-1}} \end{eqnarray*}$

nun, dann nimm beide Gleichungen hoch n , dann dürfte es klar sein.

22.11.2014, 22:37

charms

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Danke und ein schönes Rest-WE.

Christian

22.11.2014, 22:38

Dopap

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gern geschehen Wink

22.11.2014, 22:51

Helferlein

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Falls es noch wen interessiert: Ich wollte oben auf $\begin{eqnarray*} \frac 1{\sqrt[12]a}=\frac {\sqrt[12]1}{\sqrt[12]a}= \sqrt[12]{\frac 1a} \end{eqnarray*}$ hinaus.

22.11.2014, 22:55

charms

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Ja, mich interessiert es. Danke für Deine Mühen! Schön anschaulich.
Die Erkenntnis, dass die 1 im Zähler mit Wurzeln wie mit Exponenten bearbeitet werden kann, scheint mir recht wertvoll zu sein. smile

22.11.2014, 22:59

Dopap

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ja, sehr schön, es gibt wohl viele Wege nach Rom.

Die Frage ist dann nur, ob obige - und ähnliche Umformung nicht beim Schüler unter die Rubrik "Trick" fällt. Die wollen ja immer stringente Umformungen. Augenzwinkern

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