Satz von Picard Wesentliche Singularität

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Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Picard Wesentliche Singularität
Meine Frage:
Ich soll folgende Aussage beweisen:

Hat f(z) bei z0 eine wesentliche Singularität, dann nimmt f(z) in jeder noch so kleinen Umgebung von z0 jeden Wert aus C mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an.

Meine Ideen:
Ich soll den (großen) Satz von Picard anwenden und einen Widerspruchsbeweis führen, allerdings weiß ich nicht, wie ich das angehen soll.
Versuch: Sei f(z) auf einer offenen Umgebung von z0 analytisch und nicht konstant, dann gilt ja auf einer hinreichend kleinen Umgebung von z0, dass f(z) ungleich f(z0) für alle z ungleich z0.
Irgendwie muss ich die Beweisskizze dieser Aussage für den Beweis der obigen Aussage verwenden, allerdings komme ich da nicht weiter.

Vielen Dank für Eure Hilfe.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Picard Wesentliche Singularität
Zitat:
Original von Widderchen

Hat f(z) bei z0 eine wesentliche Singularität, dann nimmt f(z) in jeder noch so kleinen Umgebung von z0 jeden Wert aus C mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft an.


verwirrt Aber das ist doch gerade die Aussage des großen Satzes von Picard, bis auf die bei dir fehlende Voraussetzung, dass f holomorph sein muss. Ich nehme aber an, dass du die einfach vergessen hast.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Das habe ich mir auch gedacht! Aber mein Dozent meinte, ich sollte zusätzlich einen Widerspruchsbeweis analog zu der unten genannten Aussage durchführen.

Ansonsten sage ich, dass es eine triviale Folgerung des Satzes von Picard ist!!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Satz von Picard Wesentliche Singularität
Zitat:
Original von RavenOnJ
bis auf die bei dir fehlende Voraussetzung, dass f holomorph sein muss. Ich nehme aber an, dass du die einfach vergessen hast.


Die steckt in der wesentlichen Singularität mit drin. Augenzwinkern

Ich kenne den Satz von Picard außerdem so, dass für jedes hinreichend kleine stets bzw. für ein ist. Der Zusatz, dass jeder Wert unendlich oft angenommen wird, steckt meines Wissens nach nicht im Satz von Picard drin. Eventuell sollst du das zeigen?
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, der Satz von Picard lautet:

f(z) nimmt jeden Wert aus C mit höchstens einer Ausnahme in jeder noch so kleinen Umgebung einer wesentlichen Singularität an.

Für den Beweis der Aussage habe ich nun eine wesentliche Sing. gegeben. Sei f(z) auf einer offenen Umgebung dieser wesentlichen Singularität z0 analytisch und nicht-konstant.

Angenommen f(z) hat bei z0 keine wesentliche Singularität, das bedeutet also, entweder eine Polstelle beliebiger Ordnung oder eine hebbare Singularität. ..... Dann muss ich daraus folgern, dass f in jeder noch so kleinen Umgebung von z0 jeden Wert aus C mit höchstens einer Ausnahme nur endlich oft annimmt.

Kann ich mit diesem Ansatz fortsetzen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen Ansatz kann ich nicht nachvollziehen.

habe in eine wesentliche Singularität. Nimm jetzt an, dass es einen (weiteren) Wert in gibt, der nicht unendlich oft angenommen wird. Mit dem Satz von Picard entsteht dann ein Widerspruch.
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Ok, der Satz von Picard lautet:

f(z) nimmt jeden Wert aus C mit höchstens einer Ausnahme in jeder noch so kleinen Umgebung einer wesentlichen Singularität an.


Nicht nur wikipedia schreibt: "Der Große Satz von Picard besagt, dass eine holomorphe Funktion mit einer wesentlichen Singularität in jeder noch so kleinen Umgebung dieser Singularität jeden komplexen Wert mit höchstens einer Ausnahme unendlich oft annimmt."

Edit: Ich habe aber nach etwas Recherche festgestellt, dass man sich da durchaus nicht einig ist. Manche sagen "unendlich oft", manche erwähnen das nicht (Edit: anscheinend die Mehrheit).
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Den Ansatz den ich beschreiben wollte, sollte ein Kontrapositionsansatz darstellen. Ich negiere meine aussage und folgere daraus eine negierte aussage.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

An Iorek:
Dieser Ansatz erscheint mir plausibel und stimmt mit dem vonmeinem Dozuenten vorgeschlagenen Ansatz überein.Vielen Dank!
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Widderchen
Den Ansatz den ich beschreiben wollte, sollte ein Kontrapositionsansatz darstellen. Ich negiere meine aussage und folgere daraus eine negierte aussage.


Was du dargestellt hast, ist aber nicht die negierte Aussage von "nimmt jeden Wert in unendlich oft an bis auf einen". Was ist denn davon die Negation? Außerdem läuft ein Beweis durch Kontraposition, indem man die folgende Äquivalenz ausnützt:
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Edit: Ich habe aber nach etwas Recherche festgestellt, dass man sich da durchaus nicht einig ist. Manche sagen "unendlich oft", manche erwähnen das nicht (Edit: anscheinend die Mehrheit).


Ich habe den Satz eben auch ohne den Zusatz "unendlich oft" kennengelernt. In den zwei Büchern die ich hier griffbereit hatte, steht es auch ohne den Zusatz drin, bei Wikipedia wird er ja mit aufgeführt...ich denke, das sollte man dann von der Vorlesung abhängig machen. Und das "unendlich oft" ist ja wirklich nur eine leichte Folgerung aus dem Satz von Picard ohne "unendlich oft". Augenzwinkern
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Nachdem ich Ioreks Ansatz gesehen habe, erkannte ich bereits den Fehler in meiner Kontraposition.
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