Grenzwert einer Folge in Abhängigkeit von einer Konstanten

22.11.2014, 23:31

hmmm?

Grenzwert einer Folge in Abhängigkeit von einer Konstanten

Meine Frage:
Hallo!

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(2n)!}{(n!)^{2} * c^{n} } \end{eqnarray*}$

Hier ist der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} c>4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c<4 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.

Meine Ideen:
Ich bin mir bei meinem Lösungweg etwas unsicher:

Ich habe hier mal versucht das Quotientenkriterium anzuwenden um zu sehen ab welchem $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ es sich um eine Nullfolge handeln könnte.
Ab $\begin{eqnarray*} c>4 \end{eqnarray*}$ würde ich für den Grenzwert $\begin{eqnarray*} <1 \end{eqnarray*}$ rauskommen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \lim_{n \to \infty}\frac{4n^{2}+6n+2}{cn^{2}+c2n+c} \end{eqnarray*}$

Kann ich auch umgekehrt daraus schließen, dass wenn $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}| } >1 \end{eqnarray*}$ ist, die Folge nicht konvergiert?

Bzw. welche Methode könnte sich hier als noch besser erweisen?

23.11.2014, 00:18

Helferlein

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RE: Grenzwert einer Folge in Abhängigkeit von einer Konstanten
Sofern es Dir nicht um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(2n)!}{(n!)^{2} * c^{n} } \end{eqnarray*}$ geht, kannst Du mit dem Quotientenkriterium nichts anfangen, denn das ist ein Kriterium für Reihen.

23.11.2014, 10:30

hmmm?

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RE: Grenzwert einer Folge in Abhängigkeit von einer Konstanten

Zitat:

Sofern es Dir nicht um $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~\frac{(2n)!}{(n!)^{2} * c^{n} } \end{eqnarray*}$ geht, kannst Du mit dem Quotientenkriterium nichts anfangen, denn das ist ein Kriterium für Reihen.

Wenn eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^\infty~a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} a_{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Demnach müsste meine Reihe konvergieren und somit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge darstellen.

23.11.2014, 11:18

epsilonBaumi

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Aber du hast doch keine Reihe gegeben, sondern eine Folge (oder? verwirrt

), denke das war das was Helferlein dir damit sagen wollte.. (oder? verwirrt

)

23.11.2014, 11:56

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Das Argument ist schon richtig und geht auch für c<4.
$\begin{eqnarray*} \lim\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=q<1 \end{eqnarray*}$ läuft ja auf eine Abschätzung der Form $\begin{eqnarray*} a_{N+k}\leq Cr^ka_N \end{eqnarray*}$ mit einem $\begin{eqnarray*} r<1 \end{eqnarray*}$ hinaus.
Entsprechendes für $\begin{eqnarray*} \lim\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}=q>1 \end{eqnarray*}$
Das Quotientenkriterium nutzt den Fall q<1 nur für einen Vergleich der Ausgangsreihe mit einer geometrischen Reihe.

23.11.2014, 12:13

HAL 9000

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Anmerkung: Glück für den Threadersteller, dass der einzig wirklich interessante Fall $\begin{align*} c=4 \end{align*}$ hier anscheinend nicht betrachtet werden soll. Augenzwinkern

23.11.2014, 12:15

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Dachte ich mir auch schon. Vielleicht ein vorgezogenes Weihnachtsgeschenk. Oder Teil b) der Aufgabe, den er uns noch vorenthalten hat Wink

23.11.2014, 13:40

hmmm?

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Also wäre diese Lösung für den Fall $\begin{eqnarray*} c>4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c<4 \end{eqnarray*}$ so in Ordnung?
Hammer

Zitat:

Anmerkung: Glück für den Threadersteller, dass der einzig wirklich interessante Fall c=4 hier anscheinend nicht betrachtet werden soll. Augenzwinkern

Jetzt bin ich aber neugierig wie ich dann den Fall $\begin{eqnarray*} c=4 \end{eqnarray*}$ untersuchen könnte.
Ich weiß nicht so recht wie ich mit den Fakultäten hier umgehen soll

Hab mal versucht durch ein $\begin{eqnarray*} n! \end{eqnarray*}$ zu kürzen: Aber dann steck ich hier fest... kann dieser Weg überhaupt zum Ziel führen?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(n+2)(n+3)...(n+n)}{n! * c^{n} } \end{eqnarray*}$

23.11.2014, 17:54

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Aus deiner Formel für $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}| } \end{eqnarray*}$ bekommt man schnell heraus, dass die Folge auch für c=4 konvergiert. Beim Grenzwert hänge ich auch gerade Tränen

Edit: Ich bekomme ihn nur $\begin{align*} \leq \frac{e^{-1/2}}{2} \end{align*}$

23.11.2014, 18:16

HAL 9000

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Durch vollständige Induktion kann man

$\begin{align*} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} \leq \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 0 \end{align*}$

nachweisen, womit per Sandwich alles klar ist.

P.S.: Etwas schwierigere Betrachtungen über das Wallissche Produkt ergeben übrigens die genauere Abschätzung

$\begin{align*} \sqrt{\frac{2}{\pi(2n+1)}} < \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2} < \sqrt{\frac{1}{\pi n}} \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ ,

aber so tief muss man hier nicht einsteigen - ich erwähne es nur damit klar ist, dass die Konvergenzgeschwindigkeit dieser Nullfolge tatsächlich $\begin{align*} \sim \frac{1}{\sqrt{n}} \end{align*}$ ist. Wink

23.11.2014, 18:20

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Ah, merci
Ich kam nur auf $\begin{align*} a_{n+1}=\left(1+\frac{-1/2}{n+1}\right) a_n\leq\left(1+\frac{-1/2}{n+1}\right)^n a_1 \end{align*}$

23.11.2014, 18:58

hmmm?

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Zitat:

Aus deiner Formel für $\begin{eqnarray*} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}| } \end{eqnarray*}$ bekommt man schnell heraus, dass die Folge auch für c=4 konvergiert.

Wie bekommt man dies raus?
Ich bekomm da nur $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als Grenzwert raus.

23.11.2014, 19:07

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Deine Formel liefert $\begin{align*} a_{n+1}=\left(1+\frac{-1/2}{n+1}\right) a_n \end{align*}$ , also monoton fallend...
Wie man den Grenzwert bekommt, hat HAL 9000 geschrieben.

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