"Sandwich-Lemma" anhand des Epsilon-Kriteriums

23.11.2014, 10:12

epsilonBaumi

"Sandwich-Lemma" anhand des Epsilon-Kriteriums

Meine Frage:
Hey Leutz,

bin bei meiner Prüfungsvorbereitung mal wieder auf das Sandwich-Lemma gestoßen:

Seien f,g: (a,b) -> $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ Funktionen mit dem Grenzwert c $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (a,b). Sei h: (a,b) -> $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ eine Funktion mit f(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ h(x) $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ g(x) für alle x $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ (a,b). Zeigen Sie, dass h den Grenzwert c im Punkt $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Also: das ganze mit dem Limes zu zeigen wäre denke ich kein Problem.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} f(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} h(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} g(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$ c $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x0} h(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ c

Allerdings will ich es ja mit dem Epsilon zeigen..
hab gedacht das nach dem Folgepfeil so umzustellen, dass ich |f(x)|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ +c habe, das auch analog für g(x) zu machen und dann die Ungleichung so aufzustellen:
$\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ +c<|h(x)|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ +c

Oder bin ich total auf dem Holzweg?! Big Laugh

23.11.2014, 10:19

HAL 9000

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Zunächst mal kann man die Dinge im Beweis vereinfachen: Es genügt, die Behauptung für $\begin{align*} f(x)=0,c=0 \end{align*}$ zu zeigen, denn mit $\begin{align*} \tilde{g}(x):=g(x)-f(x) \end{align*}$ und $\begin{align*} \tilde{h}(x):=h(x)-f(x) \end{align*}$ liegt genau jene Situation vor.

23.11.2014, 16:21

epsilonBaumi

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Ok, wie meinst du das? Mache ich dann das mit |g(x) - c|< $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ nur eben für $\begin{eqnarray*} \tilde g \end{eqnarray*}$ (x) und $\begin{eqnarray*} \tilde h \end{eqnarray*}$ (x)?

23.11.2014, 16:33

HAL 9000

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war nur ein Versuch

Zitat:

Original von epsilonBaumi
Ok, wie meinst du das?

Ich meine es genauso, wie ich es geschrieben habe. Und wenn ich den Vorschlag jetzt noch weiter ausführlich zerpflücke, ist er keine Vereinfachung mehr. Entweder verstehst du es sofort beim Durchlesen, oder vergiss den Vorschlag.

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