Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär

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23.11.2014, 13:57	Tiger_Tiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Meine Frage: Hallo, bei folgender Aufgabe weiß ich leider gar nicht, was ich damit anfangen soll: Es sei $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ ein endlich erzeugter $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum und $\begin{eqnarray} f \in End_K(v) \end{eqnarray}$ . Es seien $\begin{eqnarray} m \geq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_0,...,c_{m-1} \in K \end{eqnarray}$ gegeben mit: $\begin{eqnarray} f^m + c_{m-1}f^{m-1} + ... + c_1f + c_0 id_V = 0 \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ minimal gewählt sei (d.h. es gebe keine solche Relation mit kleinerem $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ ). Zeige: a) Ist $\begin{eqnarray} c_0 = 0 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ singulär. a) Ist $\begin{eqnarray} c_0 \neq 0 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ regulär. Meine Ideen: Singulär bedeutet ja nun, dass f nicht invertierbar ist. Aber wie kann ich das anhand dieser Gleichung ablesen? Und was hilft mir die Tatsache, dass m minimal ist? Wäre sehr dankbar für eine Erklärung. Grüße, Tiger_Tiger
23.11.2014, 14:26	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Wie wäre es mit einem Widerspruch? Angenommen, $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ wäre invertierbar ... Kannst du dann eine "Relation mit kleinerem $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ " finden?
23.11.2014, 14:38	Tiger_Tiger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Hm, das wäre ein logischer Ansatz. Aber ich glaube ich habe nicht verstanden, was diese Gleichung eigentlich aussagen soll.
23.11.2014, 14:48	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Du kennst doch aber sicher Polynome. Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray} x^m+c_{m-1}x^{m-1}+\dotsb+c_1x+c_0 \end{eqnarray}$ . Darin setzen wir jetzt mal keine Zahl, sondern eine Abbildung ein. So ein Polynom sagt einem ja "Nimm das $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ , multipliziere es $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ -mal mit sich selbst, addiere dann ...". Genau das können wir auch mit $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ durchführen. Am Ende soll Null herauskommen. Das erinnert dich bestimmt an Nullstellen von Polynomen. [und tatsächlich: Wenn wir das Polynom betrachten, welches " $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ zu Null macht", also das aus der Aufgabenstellung, dann sind dessen Nullstellen sogenannte Eigenwerte von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ , welche später ganz wichtig werden] Jedenfalls haben wir nun das minimale Polynom, welches $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ "annuliert". Bzw. eine minimale "polynomiale Rechenvorschrift", die wir auf $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ anwenden müssen, damit Null (die Nullabbildung) herauskommt. Zu zeigen ist nun, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ genau dann invertierbar ist, falls wir in dieser Rechenvorschrift die Identität nicht brauchen. Falls wir also nur $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ (und skalare Faktoren) brauchen.
23.11.2014, 17:01	Tiger_Tiger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Aha, danke. Das macht mir zumindest die Aufgabe verständlich. Habe jetzt nochmal versucht, ein kleineres m zu finden, aber ich komme nicht weiter. Ich weiß ja gar nichts weiteres über das f, außer dass es nach Annahme invertierbar und ein Isomorphismus ist. Mir fehlt einfach die Idee...
23.11.2014, 17:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Ich lasse mal das Stichwort "Ausklammern" fallen.
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23.11.2014, 17:52	Tiger_Tiger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Super, danke, so hab ichs hingekriegt. Hast du auch noch einen Tipp für die b) für mich, bitte?
23.11.2014, 17:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Hier kannst du wieder ausklammern, vorher aber umstellen.
23.11.2014, 18:22	Tiger_Tiger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Das versteh ich jetzt nicht ganz, wie denn umstellen?
23.11.2014, 18:29	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Endomorphismus, Vektorraum, singulär, regulär Probier einfach ein wenig herum, bis du eine Inverse zu $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gefunden hast.

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