Konvergenz mithilfe Cauchyfolge

23.11.2014, 16:08

K.o

Konvergenz mithilfe Cauchyfolge

$\begin{eqnarray*} \left | a_n-a_{n+1} \right |< \lambda \left |a _{n-1}-a_n \right | \end{eqnarray*}$ , dabei ist Lamda Element von (0,1)

Zeige, dass die Folge a_n konvergiert

Ansatz:
Ich zeige a_n ist eine Cauchyfolge, also konvergiert sie auch.

Zunächst gilt:

$\begin{eqnarray*} \left | a_n-a_{n+1} \right |< \lambda \left |a _{n-1}-a_n \right |<\lambda^n\left |a _{1}-a_0 \right | \end{eqnarray*}$
Z.z ist das es für alle epsilon existiert ein N existiert mit n,m>N, sodass
$\begin{eqnarray*} \left | a_n-a_m \right |<\varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left | a_n-a_m \right |=\left |\sum_{k=m}^{n} a_{k+1} - a_k\right |< \sum_{k=m}^{n} \left |a_{k+1} - a_k \right |<\sum_{m}^{n}\lambda^k \left |a _{1}-a_0 \right |<(n-m)\lambda^N\left |a _{1}-a_0 \right | \end{eqnarray*}$

Das(n-m) in der letzten kette stört und ich komm nicht weiter...

23.11.2014, 16:12

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RE: Konvergenz mithilfe Cauchyfolge
Deine letzte Abschätzung ist zu grob. Verwende die geometrische Summenformel

23.11.2014, 16:29

K.o

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Dann auf ein neues

$\begin{eqnarray*} \left | a_n-a_m \right |=\left |\sum_{k=m}^{n} a_{k+1} - a_k\right |< \sum_{k=m}^{n} \left |a_{k+1} - a_k \right |<\sum_{m}^{n}\lambda^k \left |a _{1}-a_0 \right |<\frac{\lambda^m-\lambda^{n+1}}{1- \lambda } \left|a _{1}-a_0 \right |<\lambda^m\left|a _{1}-a_0 \right |<\lambda^N\left|a _{1}-a_0 \right | \end{eqnarray*}$

so dürfte es stimmen?

23.11.2014, 16:44

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Bis auf den verloren gegangenen Nenner ...

23.11.2014, 16:48

K.o

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Zitat:

Original von URL
Bis auf den verloren gegangenen Nenner ...

Danke

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Konvergenz mithilfe Cauchyfolge

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