Logarithmusterm noch weiter "vereinfachen"

23.11.2014, 16:10	Steven111	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmusterm noch weiter "vereinfachen" Hi,wie könnte ich den folgenden Term (mit den Rechenregeln für Logarithmen) noch weiter vereinfachen bzw. umschreiben? $\begin{eqnarray} [log3 (x^6) / log6 (x^3)] - [log3 (2^x) / log9 (3^x)] \end{eqnarray}$ Bisher habe ich es soweit umgeformt: $\begin{eqnarray} [3log3 (x) / log6 (x)] - [log3 (2) / log9 (3)] \end{eqnarray*}$ Ich hoffe mal ich hab mich nicht vertippt.Ich habe zuerst das Rechengesetz für Potenzen angewendet, dann die "x", sowie die 6 mit der 3 gekürzt. Wie könnte ich jetzt weitermachen?
23.11.2014, 16:37	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Und Du bist Dir ganz sicher, dass $\begin{eqnarray} 6:3=3 \end{eqnarray}$ ? Ansonsten könnte man noch die Basen vereinheitlichen, indem man $\begin{eqnarray} log_a(b)=\frac{ln(b)}{ln(a)} \end{eqnarray}$ ausnutzt.
23.11.2014, 16:57	Steven111	Auf diesen Beitrag antworten »
Sry,ist natürlich 2*log3 (x).
23.11.2014, 17:09	dungerbroth	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie Helferlein schon sagte, man könnte alles noch auf die Basis 3 bringen, das sähe so aus: $\begin{eqnarray} 2\frac{log_{3}\left(x\right) }{log_{6}\left(x\right)}-\frac{log_{3}\left(2\right)}{log_{9}\left(3\right)} = 2\frac{log_{3}\left(x\right)}{\frac{log_{3}\left(x\right)}{log_{3}\left(6\right)}}-\frac{log_{3}\left(2\right)}{\frac{log_{3}\left(3\right)}{log_{3}\left(9\right)}} = 2log_{3}\left(6\right)-2log_{3}\left(2\right) = 2log_{3}\left(\frac{6}{2}\right) = 2 \end{eqnarray}$
23.11.2014, 18:07	Steven111	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank,ich hab's mal nachgerechnet und es trifft zu. Aber eins verstehe ich noch nicht,wie kommt man z.B. auf: $\begin{eqnarray} log3 (2) / [log3 (3) / log3 (9)] = 2log3 (2) \end{eqnarray}$ Kann ich das ohne nachzurechnen irgendwie umformen?Die Regel/Rechenschritt dahinter erschließt sich mir nicht ganz,aber sie scheint sehr praktisch zu sein Btw,ich sollte mich mal näher mit dem Formeleditor auseinandersetzen.
23.11.2014, 18:52	dungerbroth	Auf diesen Beitrag antworten »
Darauf kommt man, wenn man sich den Bruch im Nenner anschaut: 1) $\begin{eqnarray} log_{3}\left(3^{1}\right) = 1 \end{eqnarray}$ Einfach aus der Definition des Logarithmus heraus; Ergebnis ist der Exponent, da Basis des Logarithmus und Basis in der Klammer gleich sind. Der Logarithmus liefert ja den Exponenten zur entsprechenden Basis, damit ein bestimmter Wert (in der Klammer) rauskommt. Dieses Wissen ist nötig für diesen Schritt. 2) $\begin{eqnarray} log_{3}\left(9\right) = log_{3}\left(3^{2} \right) = 2 \end{eqnarray}$ Hier muss man eben 9 als Potenz von 3 sehen, dann wird einem klar, dass man wie bei 1) ein einfaches Ergebnis bekommt. Damit wird der nenner $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , mit Kehrwert multiplizieren, also Faktor $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ . (Ja, ist bei solchen Formeln echt Arbeit, aber dafür siehts am Ende schön aus ;D )
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