Die Konvergenz von 1/(n!)^(1/n)

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23.11.2014, 16:36	Tierra	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Konvergenz von 1/(n!)^(1/n) Gegeben ist 1/(n!)^(1/n) (also 1/die n-te Wurzel aus n!). Nun soll ich den Grenzwert berechnen. Ich habe die Folge schon in WolframAlpha eingegeben und der Grenzwert ist 0. Um dies zu beweisen, versuchte ich, eine Ungleichung wie 0<=1/(n!)^(1/n)<=x aufzustellen und wollte dann durch den Einschlusssatz zeigen, dass 1/(n!)^(1/n) gegen 0 konvergiert. Ich versuchte es zuerst mit x=1/n^(1/n), was aber gegen 1 konvergiert. Gibt es etwas, was ich für x einsetzen könnte? Oder wäre ein anderer Ansatz sowieso besser?
23.11.2014, 16:58	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst eine Folge finden, die $\begin{eqnarray} \sqrt[n]{n!}\geq a_n \end{eqnarray}$ genügt und $\begin{eqnarray} \frac{1}{a_n} \end{eqnarray}$ muss eine Nullfolge bilden. Du könntest etwa zuerst $\begin{eqnarray} n!\geq 3\cdot (\frac{n}{3})^n \end{eqnarray}$ zeigen
23.11.2014, 17:46	Tierra	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Ich verstehe die Idee und alles, aber ich schaffe es nicht, $\begin{eqnarray} n!\geq 3\cdot (\frac{n}{3})^n \end{eqnarray}$ umzuformen... Ich bin zu 3^{n}n!\geq 3n^{n} gekommen, komme aber nicht weiter...
23.11.2014, 17:48	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Versuchs mal mit Induktion...
23.11.2014, 19:00	Tierra	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Induktionsandang geht ja leicht, beim Induktionsschritt bin ich aber bei $\begin{eqnarray} 3n!\geq (n+1)^{n} -n^{2} \end{eqnarray*}$ stecken geblieben...
23.11.2014, 20:56	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie kommst du darauf? D kannst hier einfach leicht abschätzen: $\begin{eqnarray} (n+1)!=(n+1)\cdot n! \end{eqnarray}$ und jetzt Induktionsvoraussetzung nutzen.
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23.11.2014, 23:06	Tierra	Auf diesen Beitrag antworten »
Aaaah, ok! Danke!
25.11.2014, 10:43	Tierra	Auf diesen Beitrag antworten »
...doch nicht. (n+1)!=(n+1)n! 3((n+1)/3)^(n+1)=3(n/3+1/3)(n/3+1/3) ...und jetzt?
25.11.2014, 11:13	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kann durch einfaches Abschätzen zuerst $\begin{eqnarray} (n+1)!\geq 3\cdot (n+1)\cdot\frac{3\cdot n^n}{3^{n+1}} \end{eqnarray}$ . Zu zeigen bleibt dann noch $\begin{eqnarray} 3(n+1)n^n\geq (n+1)^{n+1} \end{eqnarray}$ .
25.11.2014, 11:40	Tierra	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ichs wirklich! Danke
25.11.2014, 11:41	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »

25.11.2014, 13:03	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier zwei alternative Vorschäge, die allerdings etwas weniger elementar sind, als der Ansatz von Bijektion. Je nach Wissensstand kann man ja auswählen, was einem am besten gefällt. 1.) Es gilt $\begin{eqnarray} 0\leq \sqrt[n]{\frac{1}{n!}} \quad \overset{AMGM}{\leq}\quad\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}\quad \xrightarrow[]{Cauchyscher GWS.}\quad 0 \quad (n\to\infty) \end{eqnarray}$ 2.) Weil $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in\mathbb R \end{eqnarray}$ absolut konvergiert, gilt nach Wurzelkriterium $\begin{eqnarray} 1 \geq \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left\|\frac{x^n}{n!}\right\|} = \|x\|\cdot \limsup_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray} 0\leq \liminf_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}}\leq \limsup_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n!}} = 0 \end{eqnarray}$ und damit die Behauptung.
25.11.2014, 16:42	Tierra	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke!

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