ExtremwertAufgabe

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Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
ExtremwertAufgabe
Hallo liebe Mathematiker :-)

ich muss folgende extremwertaufgabe bis morgen lösen - sitze nun seit längerer Zeit in der FH und komme einfach nicht weiter - Wobei ich sagen muss das ich mich immer schon schwer tue mit GeometrieAufgaben unglücklich

Gegeben ist ein gleichschenkliges Dreieck mit der Basis g = 8,40m und Höhe h= 4,20m. In das Dreieck soll ein Rechteck eingeschrieben werden, das folgende Bedingungen erfüllt :

2 der 4 Eckpunkte des Rechtecks sollen auf der Basis des Dreiecks liegen,
2 Seiten des Rechtecks sollen parallel zur Basis des Dreiecks sein.

Wie sind die Breite a und Höhe b des Rechtecks zu wählen, so dass sein FlächenInhalt maximiert Word. bestimmen Sie auch den maximal möglichen Flächeninhalt des Rechtecks

weiß da jemand weiter? ich habe die Skizze gezeichnet aber komme nun überhaupt nicht weiter unglücklich wie stelle ich welche Formel auf zum berechnen bzw. was brauche ich?

Liebe grüße
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ExtremwertAufgabe
Verlege das Ganze in ein Koordinatensystem, wobei der Ursprung der Fußpunkt der Höhe ist.

Stelle dann eine Gleichung für die Geraden auf, die die gleichen Schenkel bilden. Eigentlich reicht eine Geradengleichung, z.B. im ersten Quadranten.

Du suchst einen Punkt auf dieser Geraden, der ein Eckpunkt des Rechtecks ist, welches den maximalen Flächeninhalt hat.

Kannst du die Geradengleichung aufstellen?

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
ExtremwertAufgabe
Erstmal danke für die Antwort..hänge trotzdem *.*

woher weiß ich denn welche Geraden die Gleichen Schenkel bilden ? unglücklich Blicke 0 durch

ist dann die gerade x = 4,20m und y= 4,20m? ahh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ExtremwertAufgabe
Du musst es dir so vorstellen:



Deine Gedanken von "x = 4,20m und y= 4,20m" gehen schon in die richtige Richtung.
Mit diesen Angaben kannst du 2 Punkte bestimmen, nämlich die Schnittpunkte der roten Geraden mit den Achsen.
Und mit Hilfe dieser beiden Punkte kannst du wiederum die benötigte Geradengleichung ermitteln.

In das Dreieck soll das Rechteck eingepasst werden, so dass die Fläche maximal ist.
Wir können also davon ausgehen, dass die oberen Eckpunkte des Rechtecks auf den farbigen Schenkeln liegen.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
ExtremwertAufgabe
Das heißt da A = a × b ist , wäre x=2 y=2 bzw. a=2m und y=2m de größte Fläche?

wie stelle ich dann die gerade auf ? unglücklich sorry für die vielen Fragen, haBe nur zeitDruck..
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ExtremwertAufgabe
Hmm, deine Rechnung kann ich nicht ganz nachvollziehen.

A = a·b, das stimmt. In unserem Fall wäre es: A = 2x·f(x), wobei f(x) die gesuchte Geradengleichung ist.

Gehst du in die Oberstufe?
Eine Geradengleichung aus zwei Punkten aufzustellen lernt man eigentlich in der 8./9. Klasse.

Hast du denn die Koordinaten der beiden Achsenschnittpunkte gefunden?

Ich muss leider erst einmal kurz weg, Abendessen.
Bin danach mit genügend Zeit wieder hier.

smile
 
 
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
ExtremwertAufgabe
Ich studiere Bauingenieurwesen :-D. 1. Semester..

also habe jetzt folgendes durch Recherchieren und probieren geFunden..



f (x) = mx+n
wobei n = 4,20 (Schnittpunkt der Y achse)
und M = - (4,20/4,20) = -1
f (x) = -1xhoch2 + 4,20 x

? kommt das in die richtige richtung?

Geometrie ist absolut meine schwachstelle..Statik etc. kein Problem :/
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
ExtremwertAufgabe
Ich steh komplett aufm Schlauch...irgendwo klingelts im kopf aber ich es ist zu lange her...also welche zwei Punkte sind bekannt?

A (0/4,20)
B (4,20/0)

daraus errechne ich dann die Steigung M und baue mir meine Funktion zusammen?

F (x) = mx + b (die hatte ich gelernt )

Wahrscheinlich ist das so einfach ,dass es wieder schwer ist..
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: ExtremwertAufgabe
Du kannst die Koordinaten einsetzen:

y = m·x + b

A (0/4,20) ==> 4,2 = m·0 + b ==> daraus kannst du direkt b ablesen.

B (4,20/0) ===> 0 = m·4,2 + b ==> setze dein erhaltenes b ein und errechne m.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
So, bin nun auch zuhause und muss nicht mehr mit dem Handy tippen..

also ich habe gegeben die Punkte A (0/4,20) und B (4,20/0). Damit kann ich die Steigung ausrechnen.

M = Y²-Y1 / X²-X1
M = 4,20 / 4,20
M = 1

F(x) = mx + b
F(4,20) = 1*4,20 + 0

..doofe Gedanken?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Ich schreibe mal in deinen Text (und muss doch etwas editieren...):

Zitat:

M = (Y2-Y1) /( X2-X1) ==> edit: (4,2-0)|(0-4,2) Augenzwinkern
M = 4,20 / -4,20
M = - 1

F(x) = mx + b
F(4,20) = 1*4,20 + 0 verwirrt

Die letzte Zeile macht keinen Sinn, denn wir haben nicht den Punkt (4,2|4,2).

Du hast m = - 1 erhalten. Wir suchen also noch b.
Wie ich schon gezeigt habe, kannst du das b direkt sehen:
Zitat:
A (0/4,20) ==> 4,2 = m·0 + b ==> daraus kannst du direkt b ablesen.


smile
Wilko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
[attach]36182[/attach]
Ich habe folgenden Lösungsvorschlag:
Ausgehend von A = a*b = f(a,b) über den Strahlensatz eine der beiden Variablen ersetzen:
(h – b) : a/2 = h : g/2
Jetzt nach a auflösen, in die Flächenfunktion einsetzen und den Extremwert berechnen.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
@Wilko
Ja, es gibt mehrere Wege, die Aufgabe zu lösen.
Ich habe den Weg über eine Funktionsgleichung gewählt, weil sie auch bei vielen anderen Aufgabenstellungen zu Extremwertaufgaben funktioniert.

Es ist im Board übrigens nicht üblich, mit Alternativen mitten in den Thread zu platzen. Bitte lies dir dazu auch das Boardprinzip durch.

Vielen Dank.
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Also:

f(x) = -x + 8,4 ? Das ist die Geradengleichung?

zur Antwort von Wilko :

Wie soll ich das einsetzen? Gott ich komme mir gerade so blöd vor..

(4,2 - b) : a / 2 = 4,2 : 4,2
(4,2 - b) : a / 2 = 1 / * a/2
4,2 - b = a/2 /-4,2
-b = a/2 - 4,2 /* -1
b = -a/2 + 4,2

A = a * -a/2 + 4,2 ....

?! Big Laugh
Wilko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Tut mir leid, dass ich mich eingemischt habe, es kommt nicht wieder vor.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Zitat:
Original von Mathenull26
Also:

f(x) = -x + 8,4 ? Das ist die Geradengleichung?


Warum ist b = 8,4? verwirrt

Löse diese Gleichung nach b auf: 4,2 = m·0 + b



Zitat:
Original von Mathenull26
zur Antwort von Wilko :

Wie soll ich das einsetzen? Gott ich komme mir gerade so blöd vor..

(4,2 - b) : a / 2 = 4,2 : 4,2
(4,2 - b) : a / 2 = 1 / * a/2
4,2 - b = a/2 /-4,2
-b = a/2 - 4,2 /* -1
b = -a/2 + 4,2

A = a * -a/2 + 4,2 ....

?! Big Laugh

Ganz ehrlich: Wenn du nicht verstanden hast, wie die Beziehungen in dem Dreieck nach den Strahlensätzen sind, macht es keinen Sinn zu versuchen, das auszurechnen. Augenzwinkern
Wenn du möchtest, kann ich dir die Alternative erklären, aber ich würde es besser finden, erst mal den einen Weg zu Ende zu besprechen.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Kannst du mir bitte noch antworten?

Den Strahlensatz habe ich jetzt auch gesehen, klar - nur wie rechne ich das dann aus?

4,2 - b / a/2 /*a/2 ?
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Sulo, würde gerne deinen Weg zuende rechnen, dachte nur es schadet nicht beide zu kennen..^^

also

4,2 = m*0 + b -> b=4,2

deshalb : bei Steigung M = -1 -> f(x) = -1x + 4,2 .. so richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Ja, jetzt stimmt die Geradengleichung. Freude

[attach]36183[/attach]

Jeder Punkt auf der roten Geraden hat also die Koordinaten (xo|-xo+4,2)

Die Fläche unseres Vierecks lässt sich nun also mit Hilfe der Geradengleichung darstellen.

Kannst du es versuchen?
Bedenke, dass xo die Hälfte von a ist.

(Den anderen Ansatz besprechen wir dann danach.)

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Jetzt weiß ich garnicht mehr was du meinst unglücklich

Ich bin mittlerweile auf die Strahlensätze gekommen .. wenn auch anders als eben vorgeschlagen.

wie hilft mir meine Geradengleichung jetzt bei dem Rechteck?

brauche noch nen kleinen Tritt, sorry..heute hängt die Platte extrem
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Tja, das ist das Problem, wenn jemand mit Alternativen in einen Thread reinfunkt.

Vielleicht hilft dir das Bild weiter:

[attach]36184[/attach]
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
ich setze den Punkt 2,4 als X in die Ausgangsfunktion ein?

also f(2,4) = -2,4 + 4,2 ? Dadurch erhalte ich y = 1,8 .. also in dem Fall fürs Rechteck a = 2,4 und b = 1,8 ?

verwirrt verwirrt verwirrt Hammer
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Nein, eigentlich berechnest du die Fläche A(x) mit Hilfe der von mir farbig markierten Strecken x und f(x).
Wir wissen ja inzwischen: f(x) = +x + 4,2.

Eigentlich muss nur noch die Gleichung A(x) = .... aufgestellt und dann abgeleitet werden.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Ich verstehs einfach nicht..

Wie komme ich jetzt auf die Gleichung A (x) ?!

was bringt mir da die Funktion f (x) = +x +4,2 ? Sorry ich sitze seit 9 Stunden an Unikram..hätte mit Mathe anfangen sollen -.-
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Mithilfe der Integralrechnung? Klappt doch auch oder? ^^

also Stammfunktion von f(x) ..

F(x) = 1/2x² +2,1x ..als untere Grenze die 0 und obere die markierten 2,4 (wieso eig. 2,4?) .. daraus erhalte ich 7,92 FE - ergo die Fläche?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Die eine Seite des Rechtecks ist 2x (x ist ja nur die Strecke im ersten Quadranten)*
Die andere Seite ist f(x), also -x + 4,2

Der Flächeninhalt ist also: A(x) = 2x·(-x+4,2)

Das ist die Funktionsgleichung, die nun abgeleitet werden muss, um das Extremum zu finden.

smile


* Man kann allerdings auch einfach mit x rechnen, also das halbe Rechteck betrachten. Die Koordinaten für Punkt P ändern sich dadurch nicht.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Zitat:
Original von Mathenull26
Mithilfe der Integralrechnung? Klappt doch auch oder? ^^

also Stammfunktion von f(x) ..

F(x) = 1/2x² +2,1x ..als untere Grenze die 0 und obere die markierten 2,4 (wieso eig. 2,4?) .. daraus erhalte ich 7,92 FE - ergo die Fläche?


Keine Ahnung, woher du die 2,4 hast. Augenzwinkern
Ich denke nicht, man per Integralrechnung diese Extremwertaufgabe lösen kann.
Der gesuchte Flächeninhalt ist jedenfalls größer als dein Ergebnis.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
ahhhhh jetzt ratterts.. die Seite X ist dein markiertes X .. (bei mir sind die unbekannten Seiten a und b ..) und dein "Y" ist die F(x) Funktion .. daher A (x) = 2x * f(x) - ok

Ableitung davon bilden :
A(x) = -2x² + 8,4x
A'(x)= -4x + 8,4 / unglücklich -4)- 8,4
A'(x)= x = 2,1

A''(x) = -4
A''(2,1) = -4 öööööhmm...hilfe? Big Laugh
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Zitat:
Original von Mathenull26
A(x) = -2x² + 8,4x
A'(x)= -4x + 8,4

Bis hierhin ist alles richtig. Freude

Jetzt musst du die A'(x)= 0 setzen, weil du ja den Extremwert suchst.
Nur so kannst du x ermitteln.

0 = -4x + 8,4 ...

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Habe ich doch getan smile

x = 2,1

Was mache ich nun mit der 2,1? =/
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Ja, x = 2,1, das stimmt. Freude

Deine Darstellung ist allerdings etwas ungewöhnlich und mit dem Smilie mittendrin auch etwas undurchsichtig, daher wollte ich die Rechnung ordentlich sehen.

Gut, wir haben also x = 2,1, wir brauchen noch y bzw. f(x), also: f(2,1) Augenzwinkern


Zitat:
A''(2,1) = -4

Hiermit hast du übrigens das Maximum nachgewiesen.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Soooo langsam bimmelts..

also f (2,1) = -1*2,1 + 4,20
= 2,1

Somit ergibt sich also A = 2,1 * 2,1 = 4,41 m²?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Zitat:
Original von Mathenull26
also f (2,1) = -1*2,1 + 4,20
= 2,1

Richtig, f(2,1) = 2,1. Freude


Zitat:
Original von Mathenull26
Somit ergibt sich also A = 2,1 * 2,1 = 4,41 m²?

Das ist nur der halbe Flächeninhalt. Es ist die Teilfläche im ersten Quadranten.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Klar, also mal 2 = 8,4 qm²

1. Aufgabe gelöst - was ein Akt DANKE!!!!!

zweite wäre, den maximalen möglichen Flächeninhalt zu berechnen. Gott, wie tu ich das jetzt ? Big Laugh ich habe dringend nachholbedarf in Geometrie merke ich ..
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
8,82 natürlich..
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Und natürlich sind beide Aufgaben gelöst..

also a und b müssen jeweils 2,1m sein und der maximale Flächeninhalt sind 8,84 m²

Vielen Vielen Vielen Dank!!!!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Zu dem Ansatz mit den Strahlensätzen nur eine kurze Erklärung:

[attach]36187[/attach]

Der Ansatz von Wilko war: Rot zu Grün = Lila zu Blau.

Wenn du willst, kannst du auch jeweils die gesamte Breite verwenden, das spart das Halbieren beim Aufstellen der Formel.

Auch hier ist das Ziel, die Funktionsgleichung für die Fläche A aufzustellen.
Auch hier hast du wieder zwei Variablen, die hier a und b heißen.
Mit Hilfe der Strahlensätze (s.o.) kannst du die Gleichung nach a auflösen und das a dann in der Flächengleichung ersetzen.

Du wirst auf eine analoge Funktionsgleichung kommen, statt A(x) halt A(b).

Ich habe jetzt erst mal nicht mehr so viel Zeit, werde aber immer nochmal in den Thread schauen.

smile
Mathenull26 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgaben
Super! Werde versuchen die Gleichung so aufzulösen..

danke für deine Arbeit! smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremwertaufgaben
Gern geschehen. smile
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