finale Topologie; sign-Funktion

24.11.2014, 10:12	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
finale Topologie; sign-Funktion Meine Frage: Hallo Leute, ich habe eine Frage zur finalen Topologie. Sei $\begin{eqnarray} sign:\mathbb R \to \{-1,0,1\} =:Y \end{eqnarray}$ Ich möchte nun die finalte Topologie: $\begin{eqnarray} sign_{} \mathcal T_{\mathbb R} = \{ V \subset Y \| sign^{-1}(V) \in \mathcal T_{\mathbb R}\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Dazu betrachte ich erstmal alle Teilmengen von Y und prüfe dann, welche davon offene Urbilder besitzen. Natürlich sind die leere Menge und ganz Y in der finalen Topologie auf Grund der Urbildeigenschaften allgemein: $\begin{eqnarray} f^{-1} (\emptyset) = \emptyset \ ; \ f^{-1}(Y) = X \end{eqnarray}$ Nun betrachte ich noch: $\begin{eqnarray} sign^{-1}(\{-1\}) = (-\infty,0) \in \mathcal T_{\mathbb R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sign^{-1}(\{+1\}) = (0,\infty) \in \mathcal T_{\mathbb R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sign^{-1}(\{0\}) = \{ 0\} \notin \mathcal T_{\mathbb R} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} sign^{-1}(\{-1,1\}) = (-\infty,0) \cup (0,\infty) \in \mathcal T_{\mathbb R} \end{eqnarray}$ Ich hätte dann die finale Topologie bestimmt als: $\begin{eqnarray} sign_{} \mathcal T_{\mathbb R} = \{ V \subset Y \| sign^{-1}(V) \in \mathcal T_{\mathbb R}\} = \{ \emptyset, Y, \{1\}, \{-1\}, \{-1,1 \} \} \end{eqnarray}$ In der Lösung habe ich nun aber gelsen, dass $\begin{eqnarray} \{-1,1 \} \end{eqnarray}$ nicht in der Topologie liegt. Das verstehe ich nicht. Es ist doch $\begin{eqnarray} (-\infty,0) \cup (0,\infty) \end{eqnarray}$ offen in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ . Danke für die Hilfe EDIT: Ausserdem müssen in der Topolgie ja auch beliebige Vereinigungen wieder drin liegen. Also muss wenn $\begin{eqnarray} \{1\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \{-1 \} \end{eqnarray}$ drin ist auch: $\begin{eqnarray} \{ -1,1\} \end{eqnarray*}$ drin sein oder bin ich jetzt ganz falsch? Hat der Kollege in der Lösung nur eine Basis angegeben?
24.11.2014, 10:16	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast Recht. Da die Vereinigung offener Mengen wieder offen ist, muss $\begin{align} \{-1,1\} \end{align}$ als Vereinigung von $\begin{align} \{-1\} \end{align}$ und $\begin{align} \{1\} \end{align}$ ja in der Topologie liegen. Wahrscheinlich hast du mit Vermutung Recht, dass in der Lösung nur eine Basis der Topologie angegeben wurde.
24.11.2014, 10:31	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar! Vielen Dank für die Bemerkung

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