Fast überall stetige messbare Funktionen |
| 24.11.2014, 12:59 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Fast überall stetige messbare Funktionen Ich soll zeigen oder widerlegen, dass: Sei f: R->R eine messbare Funktion. a) Ist f=g fast überall und ist g:R->R stetig, dann ist f fast überall stetig. b) Ist f fast überall stetig, dann gibt es eine stetige Funktion g:R->R, so dass f = g fast überall. Also ich weiss nicht so recht wo anfangen... Die a) und b) sind ziemlich ähnlich. Nur in die andere Richtung. Nun wenn f = g gilt, ist dann nicht f eine Teilmenge von g? Ich denke irgendwie daran die Funktion f zu vervollständigen so dass f = g überall gilt :/ wohin das führt k.A. und heisst fast überall stetig: es gibt stellen, wo die funktion nicht stetig ist? also die funktion ist singulär? ich versteh das nicht so. |
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| 24.11.2014, 13:45 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
a) ist schlicht falsch - suche ein Gegenbeispiel (Tipp: rationale/irrationale Zahlen). b) ist ebenfalls falsch, hier ist das Beispiel sogar noch einfacher. |
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| 24.11.2014, 14:45 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm... also wenn ich zum Beispiel definiere: g(x):=1 eine Konstantefunktion und f(x):= 1 falls x rational und 0 falls x irrational dann ist g(x) stetig gilt dann f(x) = g(x) fast überall? Überall wo g(x) = 0 ist, gehört zur Nullmenge oder? dann f aber per Definition stetig ist, ist sie nicht "fast-überall" stetig? d.h die Behauptung ist falsch. edit: irgendwas stimmt da nicht mit f:/ |
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| 24.11.2014, 15:09 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, so rum gerade nicht: Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar, und damit eine Nullmenge. Also wenn du das f behalten willst, dass ist als fast überall gleiche Funktion g(x)=0 zu wählen. |
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| 30.12.2014, 16:15 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo nochmals,
Das habe ich verstanden danke!
Hier kann ich kein Gegenbeispiel finden.. wenn ich f(x) = 1 für x in Q und 0 sonst nehme, dann ist die Funktion nirgends stetig. Es ist lambda(Q) = 0 da Q abzählbar, in Q muss f also nicht stetig sein das ist ok. aber per Definition muss ja f dann in R\Q stetig sein, was sie nicht ist. Diese Funktion kann ich also nicht nehmen.. Ich habe so einige Beispiele versucht, aber konnte immer ein g dazu finden so dass sie f.ü. gleich waren. |
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| 30.12.2014, 17:02 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Fast überall stetige messbare Funktionen b) Ist f fast überall stetig, dann gibt es eine stetige Funktion g:R->R, so dass f = g fast überall. Ich habe mir folgendes überlegt: Sei f(x) = 1 für x>=0 und 0 für x<0 dann ist f an der Stelle x = 0 nicht Stetig. Es ist lambda(0) = 0 also eine Nullmenge. Daraus folgt, dass f(x) f.ü. stetig ist. Dann soll eine Funktion g(x) existieren mit g(x) = f(x) f.ü. Dann ist entweder g(x) = 0 oder g(x) = 1, da g(x) auf ganz R stetig sein soll. falls g(x) = 0 ist, dann ist g(x) ungleich f(x) für alle x>= 0 falls g(x) = 1 ist, dann ist g(x) ungleich f(x) für alle x<0 {0} ist die Nullmenge und somit die einzige Stelle, an der die beiden Funktionen nicht gleich sein "dürfen" -> Es existiert keine Funktion g(x) zu den gegebenen Eigenschaften. Ist das so richtig? |
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