Frage zur quadratischen Ergänzung

24.11.2014, 13:14

surumadurum

Frage zur quadratischen Ergänzung

Hallo an alle,

sicherlich eine ganz dumme Frage, aber ich beiße mir seit einer Stunde die Zähne daran aus.

Wie kann ich die Lösungsmenge der Gleichung $\begin{eqnarray*} x^4-41x^2+400=0 \end{eqnarray*}$ durch quadratische Ergänzung bestimmen?

Mit der Mitternachtsformel ist das kein Problem, aber mit der quadr. Ergänzung bekomme ich nur Mist heraus.

Kann mir jemand helfen?

Meine Versuche sehen bis jetzt so aus:
$\begin{eqnarray*} x^4-41x^2+400=0 \end{eqnarray*}$
quadr. Ergänzen zu:
$\begin{eqnarray*} (x^2-\frac{41x}{2})^2+\frac{\frac{41}{2}x^2}{4}+400 \end{eqnarray*}$

aber davon habe ich dann nichts...

oder erst Substituieren

$\begin{eqnarray*} x^2=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (u^2-\frac{41}{2})^2+\frac{41^2}{4}+400 \end{eqnarray*}$

das dann nach u aufgelöst:

$\begin{eqnarray*} u_{1/2} = \pm \sqrt[4]{\sqrt{-400-\frac{41^2}{4}}+\frac{41}{2}} \end{eqnarray*}$

aber das ist doch Schwachsinn...

Was hab' ich übersehen?

Robert

24.11.2014, 13:43

klarsoweit

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RE: Frage zur quadratischen Ergänzung

Zitat:

Original von surumadurum
Meine Versuche sehen bis jetzt so aus:
$\begin{eqnarray*} x^4-41x^2+400=0 \end{eqnarray*}$
quadr. Ergänzen zu:
$\begin{eqnarray*} (x^2-\frac{41x}{2})^2+\frac{\frac{41}{2}x^2}{4}+400 \end{eqnarray*}$

Das ist etwas verunglückt. Richtig ist: $\begin{eqnarray*} x^4-41x^2+400 = (x^2-\frac{41}{2})^2 - \left(\frac{41}{2} \right)^2 + 400 \end{eqnarray*}$

24.11.2014, 15:13

surumadurum

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okay, so einfach kann die Lösung sein, danke!

Jetzt nur noch eine Frage.

Ich habe jetzt also $\begin{eqnarray*} (x^2-\frac{41}{2})^2 = 20\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$

Sobald ich hier auf beiden Seiten die Wurzel ziehe und auflöse,

$\begin{eqnarray*} (x^2-\frac{41}{2})^2 = 20\frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} x^2-25=0 \end{eqnarray*}$ <=> $\begin{eqnarray*} x = 5 \end{eqnarray*}$

geht mir doch etwas von der Lösungsmenge (in meinem Fall die 4) flöten. Wie löse ich denn das korrekt?

27.11.2014, 07:58

Bürgi

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RE: Frage zur quadratischen Ergänzung
Guten Morgen,
ich bitte um Entschuldigung, dass ich mich hier einmische - und bin auch gleich wieder weg:

Wenn Du schon den beschwerlichen Weg über die quadratische Ergänzung gehen musst, dann bietet es sich an, ganz auf das Wurzelziehen zu verzichten:

$\begin{eqnarray*} x^4-41x^2+400=0 ~\implies~(x^2-\frac{41}{2})^2 - \frac{81}4=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(x^2-\frac{41}{2})^2 - \left( \frac{9}2 \right)^2}_{\text{3. binom. Formel}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(x^2-\frac{41}2+\frac92 \right)\left(x^2-\frac{41}2-\frac92 \right)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{(x^2-16)}_{\text{3. bin. F.}} \overbrace{(x^2-25)}^{\text{3. bin. F.}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (x+4)(x-4)(x+5)(x-5)=0 \end{eqnarray*}$

Die lösungen der Gleichung kann man jetzt ablesen.

... und tschüss! Wink

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