ganzrationale funktion bestimmen - Seite 2

04.03.2007, 18:25

Calvin

Zitat:

Original von wuppertaler
die oberen ecken haben den selben x wert , aba nicht den selben y wert....

Ja. Außerdem weißt du, dass die oberen Ecken auf der Funktion f liegen, die du im vorherigen Aufgabenteil bestimmt hast. Wie ist also der y-Wert der oberen Ecken?

04.03.2007, 18:31

wuppertaler

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also y wert=f(x) richtig?? also man ersetzt den y wert mit der funktion f(x)

04.03.2007, 18:38

Calvin

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Richtig. Wobei man korrekterweise nicht f(x) sondern f(u) nimmt, denn der x-Wert der rechten oberen Ecke ist u.

Das mit "Abhängig von u" heißt, dass du ja nicht weißt, welchen Wert u genau hat. Deshalb bleibt u erstmal allgemein stehen.

Wie lange ist also die untere Seite des Rechtecks, wenn die x-Werte u bzw. -u sind?

04.03.2007, 18:42

wuppertaler

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die untere seite ist dann 4 längeneinheiten lang bzw 40 meter

04.03.2007, 18:46

Calvin

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Wenn das so wäre, wie "hoch" könntest du denn das Rechteck dann machen?

04.03.2007, 18:49

wuppertaler

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ja maximal bis zum berühren des graphen höher nich

04.03.2007, 18:52

Calvin

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Ja. Und wie hoch wäre das, wenn die untere Seite von -2 bis 2 gehen würde? Da sind doch die Nullstellen. Du könntest also gar nicht mehr nach oben bauen. Deine untere Seite muss also kleiner als 4 sein.

04.03.2007, 18:56

wuppertaler

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und wie setzte ich das jetzt mathematisch um?

04.03.2007, 18:59

Calvin

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Wir waren doch schon soweit, dass die rechte untere Ecke den x-Wert u hat. Die linke untere Ecke hat wegen der Symmetrie den x-Wert -u.

Angenommen, u wäre 1. Wie lang wäre dann die untere Seite? Angenommen, u wäre 0,5. Wie lang wäre dann die untere Seite?

Jetzt ist u allgemein u. Wie lang ist dann die untere Seite?

04.03.2007, 19:02

wuppertaler

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die untere seite ist nicht größer als 4

04.03.2007, 19:12

Calvin

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Ja, das ist richtig. Aber wenn das Rechteck vom x-Wert -1 bis zum x-Wert 1 geht, wie lang ist dann die Seite?

04.03.2007, 19:17

wuppertaler

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2 einheiten lang

04.03.2007, 19:18

Calvin

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Richtig. Und wenn die Seite nicht von -1 bis 1, sondern allgemein von -u bis u geht, wie lange ist dann die Seite?

04.03.2007, 19:23

wuppertaler

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kleiner als 4

04.03.2007, 19:28

Calvin

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Wie bist du denn von den x-Werten -1 und 1 auf die Länge 2 gekommen? Ob bewußt oder unbewußt hast du $\begin{eqnarray*} 1-(-1)=2 \end{eqnarray*}$ gerechnet. Wenn du jetzt nicht -1 und 1, sondern u und -u hast, dann rechnest du $\begin{eqnarray*} u-(-u)=2u \end{eqnarray*}$ . Das ist die Länge der unteren Seite.

Falls hier noch jemand mitliest: kann jemand bitte eine beschriftete Skizze erstellen? Ich habe hier leider kein Programm dafür, um das ordentlich zu machen.

04.03.2007, 19:32

wuppertaler

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aso ja kla.das wurde mir nich so deutlich

04.03.2007, 19:35

wuppertaler

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so jetzt fehlt mir nur noch die breite....

04.03.2007, 19:40

Calvin

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Wollen wir es "Höhe" nennen? Dann passt es ein bißchen besser zur Zeichnung.

Irgendwann vorhin hast du schon gesagt, dass die "Höhe" dem y-Wert an der Stelle u entspricht. Wie berechnest du diesen y-Wert?

04.03.2007, 19:42

wuppertaler

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um die höhe zu berechnen setzte ich in die funktion die 2u ein....

04.03.2007, 19:45

Calvin

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Nein, 2u ist die Länge der Seite. Um die Höhe zu berechnen musst du den x-Wert des Eckpunktes einsetzen. Und wie ist der x-Wert des (rechten) Eckpunkts?

04.03.2007, 19:49

wuppertaler

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der ist 2

04.03.2007, 20:07

Calvin

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Ich hoffe, du verstehst es nicht falsch: aber denkst du auch mal nach bevor du postest? Du machst den Eindruck als würdest du einfach nur möglichst schnell eine Antwort "raten" traurig

Ich weiß echt nicht, wie ich dich noch zur Lösung führen soll.... traurig

Hier mal eine Zusammenfassung des ganzen:

Du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{4}x^4-2x+4 \end{eqnarray*}$ mit den Nullstellen -2 und 2. Irgendwo dazwischen gibt es zwei Stellen $\begin{eqnarray*} x_1=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-u \end{eqnarray*}$ .

Die Punkte $\begin{eqnarray*} P_1(u/0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2(-u/0) \end{eqnarray*}$ sind die rechte und die linke untere Ecke des Rechtecks. Ist das soweit verständlich?

Die Länge der unteren Seite ist der Abstand der beiden Punkte $\begin{eqnarray*} P_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P_2 \end{eqnarray*}$ . Man berechnet diesen (in diesem speziellen Fall) durch die Differenz der x-Werte, also $\begin{eqnarray*} u-(-u)=2u \end{eqnarray*}$ . Ist das verständlich?

Die beiden Punkte an den oberen Ecken haben den gleichen x-Wert. Sie haben also auch den x-Wert $\begin{eqnarray*} x_1=u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2=-u \end{eqnarray*}$ . Ist das soweit verständlich?

Weil die beiden oberen Punkte zusätzlich noch auf der Funktion f liegen, haben sie den zugehörigen y-Wert $\begin{eqnarray*} y_1=f(u) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_2=f(-u) \end{eqnarray*}$ . Ist das verständlich?

Und weil die Funktion noch symmetrisch ist, sind die beiden y-Werte der oberen Ecken gleich. Es ist also $\begin{eqnarray*} y_1=y_2 \end{eqnarray*}$ . Ist das verständlich?

Wenn du einen beliebigen x-Wert gegeben hast und den zugehörigen y-Wert suchst, musst du den x-Wert in die Funktion einsetzen, das heißt du ersetzt jedes x durch den bekannten x-Wert. In diesem Fall ist der x-Wert keine Zahl, sondern eine "unbekannte" u. Der Funktionswert an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_1=u \end{eqnarray*}$ berechnet sich also mit $\begin{eqnarray*} y_1=f(u)=\frac{1}{4}u^4-2u+4 \end{eqnarray*}$ . Ist das verständlich?

Wie lang ist demnach die "Höhe" des Rechtecks?

Und bitte, bitte, bitte nimm dir die Zeit und denke über dieses Posting nach und gib eine ausführliche Antwort, was genau du nicht verstehst!

04.03.2007, 20:19

Calvin

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So, grybl war so freundlich und hat uns eine bessere Zeichnung mit Beschriftung gemacht Freude

http://img130.imageshack.us/img130/4959/kurvekleinpv1.th.png

04.03.2007, 21:05

wuppertaler

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extremwert probleme konnt ich noch nie.....also die herleitung hab ich verstanden, und das man was erstzt auch nur jetzt hab ich ansatt n x n u so u ist gleich 2 also muss ich jetzt 2 einsetzten oder wie.weil es ja ausgetauscht wurde?

04.03.2007, 21:08

Calvin

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Zitat:

Original von wuppertaler
nur jetzt hab ich ansatt n x n u so u ist gleich 2 also muss ich jetzt 2 einsetzten oder wie.weil es ja ausgetauscht wurde?

Ganz ehrlich: ich verstehe kein Wort von dem, was du mir damit sagen möchtest unglücklich

04.03.2007, 21:11

wuppertaler

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die funktion heisst ja jetzt f(u) so, und demnach muss ich für u doch 2 einsetzten oder irre ich mich.....x ersetzt doch u und x =2

04.03.2007, 21:16

Calvin

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Nein, warum willst du denn 2 einsetzen? Wenn du dein Rechteck bis ganz zu den Nullstellen machst, kannst du doch gar nicht mehr nach oben zeichnen. Oder wie sollte das deiner Meinung nach sonst aussehen?

Das u ist eine beliebige (unbekannte) Zahl, die echt größer als 0 und echt kleiner als 2 ist. Je nachdem, was du für u einsetzt, bekommst du ein anderes Rechteck. Jedes dieser Rechtecke hat einen anderen Flächeninhalt. Und nur für ein ganz bestimmtes u wird der Flächeninhalt am größten. Dieses u sollst du finden.

Die eine Seite des Rechtecks hat die Seitenlänge $\begin{eqnarray*} a=2u \end{eqnarray*}$ , die andere Seite hat die Seitenlänge $\begin{eqnarray*} b=f(u)=\frac{1}{4}u^4-2u^2+4 \end{eqnarray*}$

Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnest du mit $\begin{eqnarray*} A=a\cdot b \end{eqnarray*}$ . Setze da bitte mal a und b ein.

Dein Flächeninhalt $\begin{eqnarray*} A=a\cdot b \end{eqnarray*}$ enthält nach dem Einsetzen hoffentlich noch den Buchstaben u, du hast also eine Funktion $\begin{eqnarray*} A(u) \end{eqnarray*}$ Von dieser Funktion suchst du dann das Maximum. Das geht mit "normaler" Kurvendiskussion (Stichwort: Hochpunkt)

04.03.2007, 21:26

wuppertaler

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$\begin{eqnarray*} A=a*b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2u*(1/4u^4-2u^2+4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=1/2u^4-4u^2+8u \end{eqnarray*}$
und dann die erste ableitung bilden?

04.03.2007, 21:30

Calvin

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Die Klammer hast du nicht richtig aufgelöst. Die Potenzen bei u erhöhen sich auch.

$\begin{eqnarray*} A(u)=a\cdot b=2u\cdot \left(\frac{1}{4}u^4-2u^2+4\right)=\frac{1}{2}u^5-4u^3+8u \end{eqnarray*}$

Aber ansonsten: JAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA *erleichtertaufseufz* Augenzwinkern

04.03.2007, 21:48

wuppertaler

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$\begin{eqnarray*} f'(u)=5/2*u^4-12*u^2+8 \end{eqnarray*}$
u^2=z
$\begin{eqnarray*} 5/2z^2-12z+8 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =z^2-4,8z+3,2 \end{eqnarray*}$
PQ FORMEL
$\begin{eqnarray*} 4,8/2 +- wurzel aus (4,8/2)^2-3,2 \end{eqnarray*}$
z=4 oder z=0,8
u=16 oder u=0,64
richtig?

04.03.2007, 21:54

Calvin

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Ja, fast. Sehr gut Freude

Nur die Rücksubstitution stimmt noch nicht:

$\begin{eqnarray*} z=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=0{,}8 \end{eqnarray*}$ stimmen noch.

Du brauchst aber in der Gleichung $\begin{eqnarray*} u^2=z \end{eqnarray*}$ das u und hast das z gegeben. Also ist u=... Augenzwinkern

Erleichterte Grüße
Calvin

04.03.2007, 21:57

wuppertaler

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u= 2 oder u=0,89

04.03.2007, 22:00

Calvin

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Ja.

Jetzt musst du nur noch rausfinden, welches davon das Minimum und welches das Maximum für den Flächeninhalt bedeutet. Hast du eine Idee? Theoretisch geht das ohne Rechnung. Aber du kannst auch ganz stur den "normalen" Weg gehen.

04.03.2007, 22:01

wuppertaler

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2te ableitung ..0,89 gleich Hochpunkt, 4 gleich tiefpunkt
y2=2,38 für HP also beträgt die breite und damit auch b=2,38

04.03.2007, 22:06

wuppertaler

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a=2u also 2*0,89
a=1,78
A=a*b=1,78*2,38=4,24 .......fertig?

04.03.2007, 22:18

Calvin

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In der letzten Zeile stimmt die 2,38 und somit der Flächeninhalt nicht. Du hast dich irgendwo im Taschenrechner vertippt. Das solltest du nochmal kontrollieren.

Ich kriege $\begin{eqnarray*} A=1{,}78\cdot 2{,}57=4{,}58 \end{eqnarray*}$

Das war eine schwere Geburt und ich möchte zum Abschluss noch ein paar Worte sagen. Du solltest unbedingt diesen Chatstil ablegen. Außer mir hat hier mit Sicherheit schon lange keiner mehr mitgelesen, weil es einfach ermüdend ist. Ich musste anfangs bei jedem deiner Postings raten, wie du auf deine Antworten kommst oder wie deine Fragen gemeint waren. Hätte ich zwischendurch den PC ausgemacht, hättest du womöglich vergeblich auf weitere Antworten gewartet. Und ich war zwischendrin kurz vor dem Aufgeben.

Also in Zukunft bitte ausführliche und durchdachte Postings mit vollständigen deutschen Sätzen. Am besten noch mit Groß-/Kleinschreibung und Kommas.

Das ist übrigens unabhängig davon, ob du Probleme in Mathe hast oder nicht. Du darfst gerne hier weiter deine Fragen zu stellen. Es gibt hier viele Leute, die gerne helfen. Aber bitte in anderem Stil. Ich weiß nicht, ob ich mir das nochmal antue.

Gruß
Calvin

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