Zufallsvariablen Erwartungswert, Kovarianz

24.11.2014, 15:48

epsilonBaumi

Zufallsvariablen Erwartungswert, Kovarianz

Hey Leutz,

befinde mich zur Zeit wegen eines Studienaustausches in Finnland und verstehe so nicht ganz so viel von dem, was der Lehrer erzählt.
Geht um Stochastik 2:

a) Angenommen, X1, X2 und X3 sind positiv und identisch verteilten Zufallsvariablen. Zeige, dass
$\begin{eqnarray*} \boldsymbol{E} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \tfrac{X1+X2}{X1+X2+X3} \end{eqnarray*}$ ).

b) Zeige, dass Cov(X, Y+Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z).

24.11.2014, 17:02

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von epsilonBaumi
a) Angenommen, X1, X2 und X3 sind positiv und identisch verteilten Zufallsvariablen. Zeige, dass
$\begin{eqnarray*} \boldsymbol{E} \end{eqnarray*}$ ( $\begin{eqnarray*} \tfrac{X1+X2}{X1+X2+X3} \end{eqnarray*}$ ).

Fehlt da nicht was? Sowas wie ein Ergebnis:

$\begin{align*} \boldsymbol{E}\left( \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X_3} \right) {\color{red}= \frac{2}{3}} \end{align*}$ . smile

Ach ja, und fehlt da nicht noch eine Voraussetzung: Unabhängigkeit?

Ohne die lässt sich der Wert wohl nicht berechnen, fürchte ich. unglücklich

24.11.2014, 20:09

epsilonBaumi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach ja mist, das 2/3 vergessen! Big Laugh

Ich befürchte da steht nichts weiter von in der Aufgabenstellung.. verwirrt

Weiß nich ob der Lehrer da irgwas vergessen hat(?) Forum Kloppe

Aber gehen wir einfach mal von aus, dass die unabhängig sind Big Laugh

24.11.2014, 20:35

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Unabhängig identisch verteilte $\begin{align*} X_1,\ldots,X_n \end{align*}$ bedeutet u.a., dass die Verteilung des Zufallsvektors $\begin{align*} (X_1,\ldots,X_n) \end{align*}$ gleich der Verteilung von $\begin{align*} (X_{\pi(1)},\ldots,X_{\pi(1)}) \end{align*}$ für jede beliebige Permutation $\begin{align*} \pi \end{align*}$ von $\begin{align*} \{1,\ldots,n\} \end{align*}$ ist.

Hier im Fall $\begin{align*} n=3 \end{align*}$ heißt das, dass $\begin{align*} (X_1,X_2,X_3) \end{align*}$ sowie $\begin{align*} (X_2,X_3,X_1) \end{align*}$ und $\begin{align*} (X_3,X_1,X_2) \end{align*}$ dieselbe Verteilung haben, es gilt damit

$\begin{align*} \boldsymbol{E}\left( \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X_3} \right) = \boldsymbol{E}\left( \frac{X_2+X_3}{X_2+X_3+X_1} \right) = \boldsymbol{E}\left( \frac{X_3+X_1}{X_3+X_1+X_2} \right) \end{align*}$ ,

woraus die Behauptung sehr leicht folgt.

Dass es bei fehlender Unabhängigkeit nicht so geht, zeigt folgendes Beispiel:

$\begin{align*} P(X_1=1)=P(X_1=2)=\frac{1}{2} \end{align*}$ sowie $\begin{align*} X_2=X_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} X_3=3-X_1 \end{align*}$

Für diese Konstellation gilt dann aber

$\begin{align*} \boldsymbol{E}\left( \frac{X_1+X_2}{X_1+X_2+X_3} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1+1}{1+1+2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2+2}{2+2+1} = \frac{13}{20} \neq \frac{2}{3} \end{align*}$ .

24.11.2014, 22:41

epsilonBaumi

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok! Vielen Dank für die Antwort! Augenzwinkern

Bin ich mak gespannt, ob der Lehrer das morgen nach dem "einfachen" Fall macht - also dass er das "unabhängig" vergessen hat - oder ob er es anders macht^^

Neue Frage »

Antworten »

Zufallsvariablen Erwartungswert, Kovarianz

Verwandte Themen