Urnenmodell fuer unterschiedliche Farben

24.11.2014, 16:27

Sesqui

Urnenmodell fuer unterschiedliche Farben

Meine Frage:
Gegeben sei eine Urne mit \frac{a}{b} Kugeln mit $\begin{eqnarray*} N_j \end{eqnarray*}$
Kugeln je Farbe $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} N_1+ N_2+...+N_j+...+N_s=N \end{eqnarray*}$ . Angenommen aus dieser Urne werden $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Kugeln ohne Zuruecklegen gezogen. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit n Kugeln unterschiedlicher Farbe zu ziehen?

Meine Ideen:
Es gibt wahrscheinlich mehr Urnenmodellaufgaben als es Studenten an Unis gibt, aber diese hier bringt meinen Kopf zum rauchen.
Zuerst hab ich gedacht es ist aehnlich dem Fall, welcher auf Wikipedia beschrieben ist, wo

$\begin{eqnarray*} P(A) = n! \frac{N_1 \cdot N_2 \cdot ... \cdot N_n}{N^{N_{\underline{n}}}} \end{eqnarray*}$
Allerdings beschreibt dies das je (!) eine Kugel gezogen wuerde. Ich ziehe
also $\begin{eqnarray*} n=s \end{eqnarray*}$ Kugeln. Das ist aber gar nicht gefordert.
Wenn ich z.B. s=5 unterschiedliche Farben habe, aber nur n=3 mal ziehen, waere die Wahrscheinlichkeit deutlich hoeher als im obigen Fall aus Wikipedia.

Ich habe auch das ganze fuer $\begin{eqnarray*} s=3 (N_1 = N_2 = N_3 = 2), s=5 (N_1=N_j=N_5=2) \end{eqnarray*}$ und n=2 durchgerechnet:

Fuer s=3 (sagen wir Rot, Blau, Gelb) gaebe es ja folgende gueltige Kombinationen:

Rot, Blau
Rot, Gelb
Blau, Gelb
Blau, Rot
Gelb, Blau
Gelb, Rot

Das waeren 6 verschiedene Moeglichkeiten (bei s=5 komme ich auf 10).
Das Ganze wird dann mit den einzelnen Wahrscheinlichkeiten multipliziert, also
$\begin{eqnarray*} 6 \cdot \frac{N_1}{N} \cdot \frac{N_2}{N-1} = 6 \cdot \frac{2}{6} \cdot \frac{2}{5} = 0.8 \end{eqnarray*}$
Eine allgemeine Formel hab ich noch nicht, aber eine Vermutung in welche Richtung das gehen koennte:
Den Binomialkoeffizienten $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ s \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ multipliziert mit der Anzahl moeglicher Permutationen n! mal der Wahrscheinlichkeiten der einzelen Kugeln:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ s \end{pmatrix} \cdot n! \cdot \frac{N_1}{N} \cdot \frac{N_2}{N-1} \cdot ... \cdot \frac{N_n}{N-n+1} \end{eqnarray*}$
Ich bin mir aber nicht sicher ob ich da richtig liege? Bei vielen Farben und vielen Kugeln, muesste man das wohl von einem Computer berechnen lassen.

Zum anderen ist die Wahrscheinlichkeit natuerlich 0, wenn ich mehr Kugeln ziehe, als ueberhaupt Farben vorhanden sind $\begin{eqnarray*} (n \ge s) \end{eqnarray*}$ .
Der Binomialkoeffizient ist dann nicht definiert, muesste also eine Fallunterscheidung vornehmen.

Aus persoenlicher Neugier: Gibt es eine Formel, die beschreibt wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, dass eine oder mehrere Farben (wieviele?) maximal k mal gezogen werden oder muss ich dann auf den Baum zurueckgreifen?
Also im obigen Fall, wie kann ich beschreiben, dass eine 1 oder 2 Farben zwei Mal auftreten?

24.11.2014, 16:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{align*} n \end{align*}$ Kugeln werden gezogen, und die sollen alle sämtlich unterschiedlicher Farbe sein?

Nun, für $\begin{align*} n>s \end{align*}$ ist die Wahrscheinlichkeit natürlich gleich Null, sei im folgenden also $\begin{align*} n\leq s \end{align*}$ .

Sei $\begin{align*} S=\{1,\ldots,s\} \end{align*}$ die Gesamtindexmenge, so ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit

$\begin{align*} P(A) = \frac{1}{\binom{N}{n}} \sum_{\substack{M\subset S\\ |M|=n}} \prod_{m\in M} N_m \end{align*}$ ,

es wird hierbei über alle Teilindexmengen $\begin{align*} M \end{align*}$ mit genau $\begin{align*} n \end{align*}$ Elementen summiert, davon gibt es bekanntlich $\begin{align*} \binom{s}{n} \end{align*}$ .

So wünschenswert es auch sein mag, diese Summe zu vereinfachen, bei allgemeinen $\begin{align*} N_i \end{align*}$ wird das kaum möglich sein. Sind die $\begin{align*} N_i \end{align*}$ alle gleich groß, so kommt natürlich einfach

$\begin{align*} P(A) = \frac{\binom{s}{n}}{\binom{N}{n}} N_1^n \end{align*}$

heraus.

24.11.2014, 18:12

Sesqui

Auf diesen Beitrag antworten »

Antwort auf HAL9000
Hallo,

Du hast geschrieben:

Zitat:

n Kugeln werden gezogen, und die sollen alle sämtlich unterschiedlicher Farbe sein?

Ja genau. Also z.B. n = 3 Kugeln -> drei verschiedene Farben.
Das Problem ist einfach, wenn man genausoviele Kugeln zieht wie es Farben gibt, aber
wenn man mehr Farben als Kugeln hat, dann aendert sich der Vorfaktor ueber den ich mir den Kopf zerbrochen hab.

Deine Erklaerung ist fuer mich schluessig. Danke dafuer. Ich habe grade bemerkt, dass ich mich oefters vertipp habe, als mir lieb war (zum Beispiel beim Binomialkoeffizienten). Ich gelobe Besserung. Hammer

Nochmal vielen Dank. Ich hab wohl einiges da nicht mitbedacht.
Interessant, dass du einen ganz anderen Vorfaktor ermittelst, als ich ueber den Graphen im Beispiel ermittelt habe (Ich hab 6, du 1/15). Trotzdem kommt am Ende das gleiche heraus...

25.11.2014, 15:50

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Sesqui
Interessant, dass du einen ganz anderen Vorfaktor ermittelst, als ich ueber den Graphen im Beispiel ermittelt habe (Ich hab 6, du 1/15). Trotzdem kommt am Ende das gleiche heraus...

Da gibt es eigentlich nichts zu wundern, schließlich ist

$\begin{align*} \frac{1}{\binom{N}{n}} = \frac{n!(N-n)!}{N!} = \frac{n!}{N(N-1)\cdot\ldots\cdot (N-n+1)} \end{align*}$ ,

dieselben Terme, die bei dir auftauchen. Es ist nur deine Willkür, was du als Vorfaktor zählst, und was nicht. Augenzwinkern

Neue Frage »

Antworten »

Urnenmodell fuer unterschiedliche Farben

Verwandte Themen