2^x - bijektiv, injektiv oder was?

24.11.2014, 18:19

loci

2^x - bijektiv, injektiv oder was?

Hallo,

ich rätsel schon seit ner Stunde an einer Aufgabe rum. Es gibt die Funktion $\begin{eqnarray*} 2^x \end{eqnarray*}$ . Ist diese injektiv, surjektiv oder bijektiv? Sie geht von $\begin{eqnarray*} \mathbb R -> \mathbb R \end{eqnarray*}$ . In der zweiten Aufgabe geht sie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R nach \mathbb R+ \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz: die Funktionen sind in beiden Bereichen doch stetig, streng monoton steigend und gehen / kommen von $\begin{eqnarray*} \mathbb R nach \mathbb R+ \end{eqnarray*}$

Daher müsste sie doch surjektiv sein, oder? Beide. Allerdings steht da "geben Sie ggf. die Umkehrfunktion an". Daher vermute ich, wie ich auch mit Wolfram Alpha schon rausgefunden habe, dass sie von R -> R nicht bijektiv ist und da die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{log (x)}{log (2)} \end{eqnarray*}$ dort gefragt ist. Trotzdem erschließt sich mir der Logarithmus zum Lösen der Aufgabe nicht wirklich.

24.11.2014, 19:04

bijektion

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Zitat:

Daher müsste sie doch surjektiv sein, oder?

Surjektiv stimmt nicht bei beiden, gibt es $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} 2^x=-1 \end{eqnarray*}$ ?

Für die Umkehrfunktion musst du erstmal $\begin{eqnarray*} y=2^x \end{eqnarray*}$ lösen.

24.11.2014, 21:28

loci

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Auffällig ist, dass bei der Funktion ja kein negativer y-Wert angenommen wird (von R nach R). Ist sie deshalb nicht surjektiv? Ich habe mich auch immer gefragt, bei "laufen gegen plus und minus Unendlich" ob damit die x- oder die y-Achse gemeint ist.

Bei R -> R+ werden negative Werte ja gar nicht mehr beachtet, daher bijektiv würde ich sagen.

Umkehrfunktion (Schema lt. Vorlesung):
1. x und y vertauschen:

$\begin{eqnarray*} x=2^{y} \end{eqnarray*}$

2. Auflösen nach y: müsste das dann nicht $\begin{eqnarray*} \frac{log(x)}{log(2)} \end{eqnarray*}$ sein wie oben beschrieben? Da habe ich mich wie ich grad sah, falsch ausgedrückt. D.h. die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} 2^{x} \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} \frac{log(x)}{log(2)} \end{eqnarray*}$ sein. So wärs richtig. Nicht die Umkehrfunktion von $\begin{eqnarray*} \frac{log(x)}{log(2)} \end{eqnarray*}$ ...

24.11.2014, 21:47

bijektion

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Zitat:

Bei R -> R+ werden negative Werte ja gar nicht mehr beachtet, daher bijektiv würde ich sagen.

Ja, $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to (0,\infty ) \end{eqnarray*}$ ist injektiv.
EDIT: Und natürlich auch surjektiv, das war ja nur das Problem Augenzwinkern

Die Umkehrfunktion passt, oder auch einfach $\begin{eqnarray*} f^{-1}(x)=\log_2 x \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

24.11.2014, 21:50

loci

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Oh toll, ein Erfolgserlebnis! Vielen Dank!

Stimmt - Logarithmengesetze und dann sieht das schöner aus! In der Tat!

Danke nochmals! Wink

24.11.2014, 21:56

bijektion

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Kein Problem Augenzwinkern

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