Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv |
25.11.2014, 01:14 | Tautologie94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv Es seien f:M --> N, g: N --> M und h: N --> M Funktionen. Zeigen Sie: a) Ist f surjektiv und gilt g o f = h o f, so folgt g=h b) Ist f injektiv und gilt f o g = f o h, so folgt g=h Meine Ideen: g o f: M --> M h o f: M --> M Mein Ansatz bei Beispiel a war, dass g(f(x)) = h(f(x)) ist. Wie schließ ich nun aber formal darauf, dass g = h ist und wie kann ich die Definition der Surjektivität darin einbauen? |
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25.11.2014, 10:12 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv Was bedeutet es denn, wenn f surjektiv ist? Und wann sind zwei Funktionen gleich? Diese beiden Kernfragen führen direkt zur Lösung Lg kgV |
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25.11.2014, 11:42 | Tautologie94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv Wenn f surjektiv ist, werden ja alle Elemente von N "getroffen". Verstehe aber leider nicht, wie sich diese Eigenschaft auf g o f bzw. h o f auswirkt, da diese Funktionen von M --> M gehen. Wegen g o f = h o f müsste gelten, dass auch die beiden Relationen gleich sind. Also g:= (M,M,R1) und h:=(M,M,R2). Somit R1=R2. lg |
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25.11.2014, 18:00 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv Ich meine das ein bisschen bildlicher: g=h gilt genau dann, wenn für alle x im Definitionsbereich auch das Bild gleich ist, also wenn gilt. Du hast ja selbst den Ansatz g(f(x)) = h(f(x)) gebracht. Der ist perfekt denn: wo liegen denn alle f(x)? Und warum bekommst du alle? (hier kommt jetzt die Surjektivität ins Spiel) |
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26.11.2014, 18:05 | Tautologie94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv Ok, dann müsste das ganze so aussehen: (y sind jetzt die Elemente in N und x in M) zu zeigen: y N: g(y)=h(y) da f (M --> N) surjektiv ist gilt: y N: x M: f(x)=y da g (N --> M) eine Funktion ist: y N: ! x M: g(f(x))=x da h (N --> M) eine Funktion ist: y N: ! x M: h(f(x))=x y N: ! x M: g(f(x))= x h(f(x))=x y N: g(y) = h(y) |
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26.11.2014, 19:13 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv Sieht schon sehr gut aus Ein paar Sachen habe ich aber noch auszusetzen:
Wenn du das nochmal sauber hinschreiben willst, würde ich den ersten Teil als abgehakt betrachten Im zweiten Teil ist jetzt f injektiv und es gilt f o g = f o h. Hier kannst du denselben Ansatz mit f(g(x))=f(h(x)) missbrauchen. Was heißt es denn, dass f injektiv ist? |
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27.11.2014, 16:13 | Tautologie94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verkettung von Funktionen - surjektiv, injektiv zu zeigen: da g (N --> M) eine Funktion ist: da h (N --> M) eine Funktion ist: da f (M --> N) surjektiv ist gilt: Jetzt zu Beispiel b: zu zeigen: da g (N --> M) eine Funktion ist: da h (N --> M) eine Funktion ist: da f (M --> N) injektiv ist: wegen der Injektivität: |
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28.11.2014, 15:52 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die vorletzte Zeile kannst du streichen, die brauchst du nicht (außerdem ist sie nicht ganz richtig ) Zur b) in Zeile fünf muss stehen, und nicht . Ansonsten passt das aber |
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29.11.2014, 00:33 | Tautologie94 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super, vielen Dank |
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29.11.2014, 09:04 | kgV | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
gern geschehen |
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