rationale Funktion mit f = f'

25.11.2014, 14:03

foxy1

rationale Funktion mit f = f'

Meine Frage:
Beweisen Sie, dass es außer der konstanten Funktion 0 keine rationale Funktion f mit f' = f gibt.

(Bemerkung: Dies zeigt insbesondere, dass die Exponentialfunktion keine rationale Funktion ist).

Meine Ideen:
Sei f: R->R mit f(x)=0. Es ist f rational, denn 0=0/1 und 0/1 ist rational. Mit den Ableitungsregeln gilt f'=0 und somit ist f=f'.
Angenommen, es gibt eine weitere rationale Funktion g: R->R mit g=g'. Sei g(x)=(a/b)*x^t mit a, b, t aus R. Dann sehen wir mit den Ableitungsregeln, dass g ungleich g' ist.

Woran erkenne ich aber, dass die Exponentialfunktion nicht rational ist??
Wo ist mein Denkfehler??

25.11.2014, 14:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von foxy1
Sei g(x)=(a/b)*x^t mit a, b, t aus R.

Ist das deines Erachtens die allgemeine Form einer rationalen Funktion?

25.11.2014, 14:18

IfindU

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RE: rationale Funktion mit f = f'
Dein g ist eine äußerst simple rationale Funktion. Es gibt deutlich mehr! Starte doch mit $\begin{eqnarray*} g = p/q \end{eqnarray*}$ , wobei p ein Polynom vom Grad r, und q ein Polynom vom Grad s ist.

Zu letzten Frage: Welche sehr simple Differentialgleichung erfüllt exp denn? Ist sie konstant 0? Wenn nein, was kann sie nicht sein?

26.11.2014, 11:52

foxy1

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RE: rationale Funktion mit f = f'
Vielen liebe Dank für deine Antwort IfindU!!
Da ich Differentialgleichungen noch nicht durchgenommen habe, musste ich erstmals lange im Internet recherchieren und mich schlau machen. Mein Versuch:

Nach Annahme gibt es eine weitere Funktion g: R -> R mit g'=g. Sei g'=x^a/y^b , wobei x und y Polynome sind und a, b jeweils den Grad angeben. Dann gilt:

dy/dx=x^a/y^b

y^b dy=x^a dx

integral y^b dy=integral x^a dx

(y^(b+1))/(b+1)=(x^(a+1))/(a+1)+C_1

(y^(b+1))/(b+1)-(x^(a+1))/(a+1)=C_1

(y^(b+1)*(a+1))/((b+1)*(a+1))-(x^(a+1)*(b+1))/((a+1)*(b+1))=C_1

y^(b+1)-x^(a+1)=C_1*(a+1)*(b+1)

Setzen wir C=C_1*(a+1)*(b+1), so erhalten wir

y^(b+1)*x^(a+1)=C.

Kann ich dann argumentieren, dass dies aber nicht g ist? (Sorry, Differentialgleichungen sind mir wie gesagt fremd!) verwirrt

26.11.2014, 12:05

IfindU

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RE: rationale Funktion mit f = f'
$\begin{eqnarray*} f' = f \end{eqnarray*}$ ist eine Differentialgleichung. Das ist alles was ich damit sagen wollte -- das sollte nicht die Basis für den Beweis werden. Ganzrationale Funktionen sind des weiteren nicht so leicht integrierbar.

Bleib am besten bei meiner Notation. Also $\begin{eqnarray*} g = p/q \end{eqnarray*}$ mit den Graden r bzw. s. Wie sieht dann $\begin{eqnarray*} g' \end{eqnarray*}$ aus?

26.11.2014, 13:21

Leopold

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RE: rationale Funktion mit f = f'

Zitat:

Original von foxy1
Sei g(x)=(a/b)*x^t mit a, b, t aus R

Ergänzung zur Bemerkung von IfindU: Nicht nur werden mit diesem Ausdruck nicht alle rationalen Funktionen erfaßt, sondern es sind auch nicht alle diese Funktionen rational. Jedenfalls nicht unter der Bedingung $\begin{align*} t \in \mathbb{R} \end{align*}$ .

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