Lipschitzräume

25.11.2014, 16:50	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitzräume Meine Frage: Hallo zusammen, Hey guys, Ich suche ein Beispiel für eine Funktion die in $\begin{eqnarray} Lip (\alpha, L_2(0,1)) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} 0<\alpha < 1 \end{eqnarray}$ liegt, nicht jedoch in $\begin{eqnarray} Lip(1,L_2(0,1)) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} Lip(\alpha, L_p(0,1)) \end{eqnarray}$ ist durch die Menge aller Funktionen $\begin{eqnarray} f\in L_p(0,1) \end{eqnarray}$ definiert, für die $\begin{eqnarray} \|\| f(\cdot + h) - f(\cdot)\|\|_{L_p(0,1-h)} \le C h^{\alpha} \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} 1 > h > 0 \end{eqnarray}$ gilt. Lipschitzräume sind also eine Verallgemeinerung von Hölderräumen, nur dass die Differenz in $\begin{eqnarray} L_p \end{eqnarray}$ gemessen wird, statt in $\begin{eqnarray} L_{\infty} \end{eqnarray}$ . Die klassischen Hölderräume sind durch $\begin{eqnarray} Lip(\alpha, L_{\infty}(0,1)) \end{eqnarray}$ somit ein Spezialfall der Lipschitzräume. Meine Ideen: Ich dachte an $\begin{eqnarray} f(x) = x^{\alpha} \end{eqnarray}$ . Diese Funktion liegt in $\begin{eqnarray} Lip(\alpha, L_{\infty}(0,1)) \end{eqnarray}$ , jedoch nicht in den Lipschitzräumen für größeres $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Einige numerischen Experimente deuten allerdins daraufhin, dass $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} Lip(1,L_2(0,1)) \end{eqnarray}$ und nicht nur in $\begin{eqnarray} Lip(\alpha, L_2(0,1)) \end{eqnarray}$ liegt. Kann man das beweisen? Kann mir jemand helfen ein passendes Beispiel zu konstruieren?
25.11.2014, 18:10	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitzräume Ich habe gerade selbst noch kein Beispiel, aber hoffentlich ein paar hilfreiche Gedanken. Der Grund warum $\begin{eqnarray} x^\alpha \end{eqnarray}$ nicht Lipschitz-stetig ist, liegt in der 0 begründet. Dort benutzt man, dass die Ableitung sehr groß wird -- dass sie das nur auf einem kleinen Gebiet tut stört einen nicht, da man ja in der Supremumsnorm ignorieren kann wie klein die Fläche ist, auf dem der große Fehler gemacht wird. In L^p schaut es allgemein anders aus. Große Werte auf einer kleinen Fläche können durchaus zu kleinen Werten führen. Daher denke ich nicht, dass das Beispiel passend ist. Was ich versuchen würde ist einen großen Fehler auf einem großen Gebiet zu führen. Mein Vorschlag wäre mit schnell oszillierenden Funktionen rumzuspielen. Die Idee dahinter ist, dass f(x +h) und f(x) dann ständig sehr weit auseinander sind.
25.11.2014, 19:10	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitzräume Vielen Dank für die Antwort! Das Problem ist, dass schnell oszilierende Funktionen (die ich ja mit sin oder e konstruieren kann) auch regulär, also meist sogar unendlich oft differenzierbar sind. Das vermasselt mir also wieder alles... Für mehr Denkanstöße bin ich offen!
25.11.2014, 21:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitzräume Ich dachte auch mehr an $\begin{eqnarray} x \mapsto \sin( x^{-\alpha} ) \end{eqnarray}$ . Als andere Möglichkeit würden sich vlt unbeschränkte Funktionen anbieten, also z.B. $\begin{eqnarray} x \mapsto x^{-\alpha} \end{eqnarray}$ .
25.11.2014, 21:59	chaplin	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitzräume Hm... Leider ist $\begin{eqnarray} x^{-\alpha} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \sin(x^{-\alpha}) \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} W^{1,1}(0,1) \end{eqnarray}$ . Aber das ist vllt keine schlechte Idee mal in diese Richtung zu denken. Ich dachte eben an $\begin{eqnarray} x^{\alpha} \end{eqnarray}$ , weil diese Funktion in $\begin{eqnarray} W^{1,1}(0,1) \end{eqnarray}$ , aber nicht in $\begin{eqnarray} W^{1,2}(0,1) \end{eqnarray}$ liegt, die Ableitung also nicht quadratintegriebar ist. In $\begin{eqnarray} L_2 \end{eqnarray}$ hätte mir das vllt irgendwie helfen können, aber ich weiß nicht genau wie.
26.11.2014, 10:04	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lipschitzräume Die Integrierbarkeit von $\begin{eqnarray} x^{-\alpha} \end{eqnarray}$ kann man schwer retten, aber man kann immer $\begin{eqnarray} x^\beta \sin x^{-\alpha} \end{eqnarray}$ so wählen, dass die Ableitung sich noch nett genug verhält. Und $\begin{eqnarray} x^\alpha \in W^{1,2} \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \alpha > 1/2 \end{eqnarray}$ .
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