Wieso wird ein Vorzeichen beim Potenzieren zum Operanden?

25.11.2014, 17:59	Bobedi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso wird ein Vorzeichen beim Potenzieren zum Operanden? Meine Frage: $\begin{eqnarray} -5 = (-5) \end{eqnarray}$ Zahlenwert referenziert auf die linke Seite des Zahlenstrahls von der Null aus gesehen. Frage: Weshalb ändert beim Potenzieren die Betrachtungsweise und man attestiert dem referenzierten Wert (Vorzeichen) die Funktion einer Operation. D.h. man impliziert die 5 wird von einer 0 abgezogen $\begin{eqnarray} 0-5^{n} \end{eqnarray}$ oder mit dem Wert -1 multipliziert $\begin{eqnarray} -1 5^{n} \end{eqnarray}$ . Damit wird $\begin{eqnarray} -5^{n} \neq (-5)^{n} \end{eqnarray}$ Ich verstehe nicht weshalb man dem Vorzeichen eine Rechenoperation unterstellt und somit die Bindung der negativen Position auf dem Zahlenstrahl von der 5 loslöst. Gibt es dazu eine einfache Erklärung? Meine Ideen:* Betrachtet man das (-) Zeichen als Position der Zahl 5 auf einem Zahlenstrahl relativ zur Null müsste $\begin{eqnarray} -5^{n} = (-5)^n \end{eqnarray}$
25.11.2014, 18:59	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso wird ein Vorzeichen beim Potenzieren zum Operanden? Vielleicht mochte sich aufgrund der Frage-Formulierung noch keiner erbarmen, zu antworten. Bevor jemand eine tiefergehende Erklärung abgibt, versuch ichs mal einfach: Per Definition oder Rechenregeln ist $\begin{eqnarray} -5^{n} = (-1)\cdot 5^{n}=(-1)\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot ... \end{eqnarray}$ Wir haben also nur einen negativen Faktor, weshalb das Ergebnis negativ ist. Man könnte auch sagen, dass die Potenz n die 5 stärker bindet als die Multiplikation mit -1, weshalb die -1 nicht mitpotenziert wird. Dagegen ist $\begin{eqnarray} (-5)^{n} = (-5)\cdot (-5)\cdot (-5)\cdot ... = (-1)^n\cdot 5^n \end{eqnarray}$ also offensichtlich nicht dasselbe. Somit gilt $\begin{eqnarray} -5^n=(-5)^n \end{eqnarray}$ nur für ungerade n.
27.11.2014, 11:18	siggHP	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso wird ein Vorzeichen beim Potenzieren zum Operanden? Vielen Dank Klauss, dass du dich meiner erbarmst. Es scheint tatsächlich so, dass durch die komplizierte Fragestellung eine einfach Antwort nicht möglich ist . Nochmals auf den Punkt gebracht: Weshalb mutiert ein Vorzeichen zu einem Term? $\begin{eqnarray} -5 = (-1) \times 5 \end{eqnarray}$ bedeutet auch $\begin{eqnarray} - = (-1) \times \end{eqnarray}$ . Du schreibst, dass "Per Definition oder Rechenregel" diese Umformulierung möglich ist. Welche Rechenregel kommt hier zum Zuge? Denn mathematisch korrekt wären auch alle anderen Erweiterungen die den Faktor $\begin{eqnarray} -1 \end{eqnarray}$ ergeben. zB: $\begin{eqnarray} -5 = (17-18) \times 5 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} -5 = (-3 \times 3 + 8) \times 5 \end{eqnarray}$ nur macht das keiner. Zu dem stellt sich die Frage wie diese per se definierte Endlosschleife aufhört? $\begin{eqnarray} -5 = (-1) \times 5 \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} -5 = ((-1) \times 1)) \times 5 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -5 = (((-1) \times 1) \times 1)) \times 5 \end{eqnarray}$ usw. usf. denn jede mit einem negativen Vorzeichen behaftete Zahl kann wiederum mit -1 multipliziert werden was an sich wiederum ein negativer Zahlenwert ist
27.11.2014, 11:32	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso wird ein Vorzeichen beim Potenzieren zum Operanden? Man braucht ein bißchen Gruppen- bzw. Körpertheorie: Zu jedem Element a einer Gruppe existiert ein inverses Element (-a), so daß a + (-a) = 0 gilt. Anmerkung: statt a + (-a) schreibt man auch abkürzend a - a. Gemeint ist aber immer a + (-a) . Für das neutrale Element 1 der Multiplikation gilt also, daß 1 + (-1) = 0 ist. Somit gilt: 0 = 0 * a = (1 + (-1)) * a = 1 * a + (-1) * a = a + (-1) * a Offensichtlich ist also (-1) * a ein inverses Element von a und somit (-1) * a = -a . Insbesondere ist also (-1) * (-1) = -(-1) = 1. Ich hoffe, ich konnte deine Fragen damit beantworten.
27.11.2014, 12:01	klauss	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wieso wird ein Vorzeichen beim Potenzieren zum Operanden? Also ich würde nicht sagen, dass hier ein Vorzeichen "mutiert", sondern die Schreibweise $\begin{eqnarray} -5 \end{eqnarray}$ ist letztlich eine Kurzschreibweise für $\begin{eqnarray} (-1) \cdot 5 \end{eqnarray}$ , wobei 5 und -5 zueinander additiv inverse Elemente der ganzen Zahlen sind. Falls Du da tiefer in die Zahlentheorie mit den entsprechenden Definitionen und Rechenregeln einsteigen willst, möge sich hier ggf. eine Fachperson einschalten* oder Du nimmst die entsprechende Literatur zur Hand. Deine Beispiele zu mathematisch korrekten Erweiterungen sind schon richtig, aber ich sehe da keinen Widerspruch. Multipliziert man die 5 mit einer Klammer in der eine Summe mit dem Wert -1 steht, ist das Ergebnis doch gleich. Entweder man wertet zunächst die Klammer aus und multipliziert $\begin{eqnarray} (-1) \cdot 5 \end{eqnarray}$ oder man multipliziert die 5 mit den einzelnen Summanden unter Beachtung des Distributivgesetzes. Dass das keiner macht, ist erstens egal, denn entscheidend ist, dass alle Rechenregeln widerspruchsfrei das richtige Ergebnis liefern, ob simpel oder umständlich. Zweitens stimmt das so nicht, denn es wird durchaus bei Gelegenheit formal mit solchen Umformungen gearbeitet, um einen Beweis zu führen, z. B. hier: Beweis von "teilbar durch 3" mit vollständiger induktion (wo genau...?) Im übrigen kannst Du natürlich auch so oft Du willst mit 1 multiplizieren oder mit $\begin{eqnarray} \frac{x}{x} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x\neq 0 \end{eqnarray}$ o. ä., dann bleibt das Ergebnis eben gleich, wenn das in der Situation nützlich ist. P.S.: * schon geschehen

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