Äquivalenzrealationen auf D^2; Quotietenraum

25.11.2014, 20:17	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrealationen auf D^2; Quotietenraum Meine Frage: Hallo Leute, ich würde gerne folgende Aufgabe(n) verstehen. Ich fange mal mit der ersten an. $\begin{eqnarray} auf \mathbb D^2 = \{ x \in \mathbb R\| \|x\| \leq 1\} \end{eqnarray}$ definieren wir eine Äquivalenzrelation durch: $\begin{eqnarray} x \sim y : \Leftrightarrow x=y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \|x\|=\|y\|=1 \end{eqnarray}$ Der Quotientenraum $\begin{eqnarray} \mathbb D^n / \sim \end{eqnarray}$ ist homöomorph zu welchen Raum? $\begin{eqnarray} \mathbb D^1, \mathbb D^2, \mathbb S^1, \mathbb S^2 \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} \mathbb S^{n-1} = \{ x \in \mathbb R^n\| \|x\| = 1 \} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Jetzt habe ich mal versucht mir das Anhand eines Bildes zu überlegen. (richtige Antwort sei angeblich $\begin{eqnarray} \mathbb S^2 \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \mathbb D^2 \end{eqnarray}$ ist ja der Einheitskreis und zwar ausgefüllt. Ich habe schon gemerkt, dass die Bedingung $\begin{eqnarray} x = y \end{eqnarray}$ nötig ist um überhaupt eine Äquivalenzrelation zu erhalten, da sonst $\begin{eqnarray} \sim \end{eqnarray}$ nicht reflexiv ist. Nun sehen doch die Punkte in $\begin{eqnarray} \mathbb D^n / \sim \end{eqnarray}$ so aus: $\begin{eqnarray} [x] \end{eqnarray}$ Im Quotienteraum sind die Punkte im Raum gerade meine Äquivalenzklassen. $\begin{eqnarray} [x] = \{ y \in \mathbb D^2\| x=y \ \text{oder} \\|x\|=\|y\|=1\} \end{eqnarray}$ Nun wird $\begin{eqnarray} x=y \end{eqnarray}$ ja nur von x selbst erfüllt, also ist $\begin{eqnarray} x \in [x] \end{eqnarray}$ Für die Punkte in $\begin{eqnarray} \mathbb D^2 \end{eqnarray}$ deren Betrag echt kleiner ist als 1 ist $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ selbst auch das einzige Element in der Äquivalenzklasse. Also ist das ganze Innere im Grunde in $\begin{eqnarray} \mathbb D^2 / \sim \end{eqnarray}$ Neben diesen vielen kleinen Äquivalenzklassen $\begin{eqnarray} [x] = \{x\} \end{eqnarray}$ gibt es noch eine große. Nämlich der gesamt Rand. Für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ auf dem Rand gilt $\begin{eqnarray} \|x\|=1 \end{eqnarray}$ dies gilt für alle auf dem Rand also erhalte ich $\begin{eqnarray} [x]_{x \in \partial \mathbb D^2} = \partial \mathbb D^2 \end{eqnarray}$ Ich Identifiziere also den ganzen Rand mit nur einem einzigen Punkt. Ich kann mir vorstellen, dass ich alle Punkte des Randes nach oben biege und auf einen Punkte zusammenklebe, was ich dann erhalte ist ein Ball. Also muss die richtige Antwort tatsächlich $\begin{eqnarray} \mathbb S^2 \end{eqnarray}$ sein. stimmt die Vorstellung soweit?
25.11.2014, 21:14	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Äquivalenzrealationen auf D^2; Quotietenraum Genau oso ist es, besser hätte ich es kaum erklären können.

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