Herleitung Ebenengleichung, Normalenvektor

26.11.2014, 00:39

Leerkörper

Herleitung Ebenengleichung, Normalenvektor

Hallo, kann mir jemand erklären wie man die Ebenengleichung ax+by+cz=0 herleitet? Wieso brauche ich dafür den normalen Vektor von der Ebene? Das hat was mit dem Skalarprodukt zu tun ? verwirrt

26.11.2014, 08:40

Hausmann

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RE: Herleitung Ebenengleichung, Normalenvektor
Guten Morgen,

dabei handelt es sich nur um spezielle Ebenen (durch den Ursprung). Ansonsten gibt es verschiedene Bestimmungen / Gleichungen für Ebenen, die man wechselseitig umformen kann. Die Definition durch einen Punkt plus Normalenvektor ist eine davon.

Eine etwas genauere Umschreibung Deines Problems wäre mithin nicht verkehrt, zum Bleistift: Gegeben - gesucht.

mfG

26.11.2014, 14:37

dungerbroth

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Du meinst wohl eher ax + by + cz = k, denn die Konstante auf der einen Seite kann beliebig sein, sonst muss die Ebene, wie Hausmann sagte, durch den Ursprung gehen.

Hab da mal was gebastelt:

[attach]36218[/attach]

Sei $\begin{eqnarray*} \vec{x_{0}} \end{eqnarray*}$ Stützvektor der Ebene (also Ortsvektor zu einem bekannten Punkt auf der Ebene), $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ Ortsvektor zu einem anderen, beliebigen Punkt auf der Ebene und $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ ein zur Ebene orthogonal stehender Vektor (bekannt oder ggf. berechenbar, wenn man bereits eine Gleichung in Parameterform hat (weißt du, wie das geht?)).

Da $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ nun also offensichtlich orthogonal zum Vektor zwischen zwei Punkten auf der Ebene ist, also zu $\begin{eqnarray*} \vec{a} = \vec{x} - \vec{x_{0}} \end{eqnarray*}$ , muss das Skalarprodukt dieser Vektoren 0 sein:

$\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot\vec{a} = \vec{n}\cdot\left(\vec{x} - \vec{x_{0}}\right) = 0 \end{eqnarray*}$
Nach Distributivgesetz gilt:
$\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot\vec{x} - \vec{n}\cdot\vec{x_{0}} = 0 \end{eqnarray*}$
Umformen:
$\begin{eqnarray*} \vec{n}\cdot\vec{x} = \vec{n}\cdot\vec{x_{0}} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt du $\begin{eqnarray*} \vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ; für $\begin{eqnarray*} \vec{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{x_{0}} \end{eqnarray*}$ hast du konkrete Werte. Also musst du nur alles in die Gleichung einsetzen und dann kommst du auf die Form ax + by + cz = k ;D

Edit opi: Bild angehängt, Link entfernt. Bilder bitte immer direkt im Board hochladen.

26.11.2014, 14:42

Hausmann

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Zitat:

Original von dungerbroth
Du meinst wohl eher [...]

Endlich klappt es mit der Gedankenübertragung und von mir aus - tschüß!

26.11.2014, 16:16

Leerkörper

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Hallo dungerbroth, vielen Dank für die Hilfe und Zeichnung Freude